En l’absence de cible on peut étudier la viabilité du système dynamique mais également le problème temporel de viabilité dans la mesure où, lorsque la position initiale $x$ n’appartient pas à $Viab_S(K)$, on peut chercher à réguler le système dynamique pour assurer la survie dans $K$ de son état le plus longtemps possible, c’est-à-dire retarder autant que possible la date de sortie de l’état
du système de l’ensemble $K$. Différents temps permettant de caractériser la viabilité du système dynamique peuvent être définis :
Temps minimal de survie
Pour un système dynamique non contrôlable et en présence d'incertitude, le calcul du temps minimal de survie à partir d'une position initiale $x$ de l'état du système dynamique $S$ a du sens, puisqu'il informe sur la durée incompressible durant laquelle
l'évolution du système dynamique pourra à coup sûr respecter ses contraintes de viabilité.
En outre, la connaissance de ce temps minimal est opportune pour rendre compte de l'importance de l'apport d'un contrôle du système dynamique.
Si ce temps minimal de survie est infini, cela signifie que, quelle que soit la réalisation de l'incertitude, toutes les évolutions possibles restent dans $K$, ce qui implique que la position initiale $x$ appartient à $Inv_{S}(K)$.
Si ce temps minimal de survie est fini, alors cela implique que la position initiale $x$ se situe dans $K$ sans appartenir à $Inv_{S}(K)$, autrement dit qu'elle est dans le complémentaire dans $K$ de $Inv_{S}(K)$.
Si ce temps minimal de survie vaut zéro, cela signifie que, partant de la position initiale $x$ de l'état, l'évolution de l'état est à la limite de ne plus respecter les contraintes de viabilité.
Auquel cas, la position initiale $x$ se situe forcément sur la frontière de l'ensemble $K$ et l'état quittera immédiatement $K$
quelle que soit son évolution associée à une réalisation quelconque de l'incertitude.
Temps maximal de survie
Pour un système dynamique contrôlable et en l’absence d’incertitude, on veut connaı̂tre, en partant d’une position initiale donnée de l’état du système dynamique, jusqu’à quel instant il est possible de repousser volontairement avec un contrôle adéquat la sortie de l’ensemble $K$.
Si, en partant d’une position initiale $x$ de l’état du système dynamique, le temps maximal de survie est infini, cela signifie qu’il est toujours possible d’actionner un contrôle adéquat pour rester dans $K$ ; autrement dit, la position initiale $x$ se situe dans $Viab_S(K)$.
Si le temps maximal de survie est fini, alors cela implique que la position initiale $x$ se situe dans $K$ sans appartenir à $Viab_S(K)$, autrement dit qu’elle est dans le complémentaire dans $K$ de $Viab_S(K)$.
Si ce temps maximal de survie vaut zéro, alors la position initiale $x$ de l’état se situe nécessairement sur la frontière de $K$ et quel que soit le contrôle appliqué, l’évolution de l’état quittera immédiatement $K$.
Temps maximal garanti de survie
En présence d’incertitude pour laquelle on ne peut savoir à l’avance si ses réalisations seront favorables ou non à la survie du système dynamique, il est opportun de connaître la valeur maximale du temps minimal de survie que l’on peut garantir, à partir d’une situation initiale, en choisissant un contrôle adéquat.
Si ce temps maximal garanti de survie associé à une position initiale x de l’état du système dynamique est infini, cela signifie que, en appliquant le contrôle adéquat, quelle que soit la réalisation de l’incertitude, l’état reste dans $K$ ; autrement dit, la position initiale $x$ appartient à $GuarViab_S(K)$.
Si le temps maximal garanti de survie est fini, cela implique que la position initiale $x$ appartient au complémentaire dans $K$ de $GuarViab_S(K)$.
Si ce temps maximal garanti de survie vaut zéro, la position initiale x de l’état se situe nécessairement à la frontière de $K$ et quel que soit le contrôle qui sera appliqué et quelles que soient les réalisations de l’incertitude, l’état quittera immédiatement $K$.
En présence d’une cible $C$, on peut considérer comme indicateur de capture d’une cible différentes évaluations de temps correspondant à des dates d’atteinte de la cible dans $K$.
Temps maximal de capture d'une cible
Il correspond à la date la plus éloignée en-deçà de laquelle on est certain que, quelle que soit la réalisation de l’incertitude, l’atteinte de la cible sera réalisée en partant d’une position initiale $x$ donnée de l’état du système dynamique.
Si le temps maximal de capture de la cible est infini, il peut exister des actions inappropriées qui empêchent d’atteindre la cible, quelle que soit la réalisation de l’incertitude.
Si le temps maximal de capture de la cible est fini, cela signifie que, quoique l’on fasse ou quelle que soit la réalisation de l’incertitude, la cible sera toujours atteinte en temps fini en partant de la position initiale $x$.
Si le temps maximal de capture de la cible est nul, alors toute évolution partant de $x$ atteint la cible de manière immédiate, autrement dit cette position initiale est contenue dans la cible $C$.
Cependant, la connaissance de ce temps maximal n’a en réalité aucun intérêt pour la régulation d’un système dynamique, dans la mesure où une cible est définie pour être atteinte en temps minimal.
D’où deux autres temps de capture d’une cible sont à définir.
Temps minimal de capture d'une cible
Il correspond à la date la plus rapprochée au-delà de laquelle on est certain d’avoir atteint la cible sans avoir quitté $K$, en partant d’une position initiale x de l’état du système dynamique, en appliquant un contrôle adéquat.
Si le temps minimal de capture est infini, cela signifie qu’il n’existe aucun contrôle susceptible de permettre d’atteindre la cible en temps fini en partant de la position initiale $x$. Autrement dit, la position $x$ se situe dans $K$ tout en n’appartenant pas à $CaptViab_S(K)$. Par conséquent, la position $x$ se situe dans le complémentaire dans $K$ de $CaptViab_S(K)$.
Si le temps minimal de capture est fini, cela signifie qu’il existe au moins un contrôle permettant l’atteinte de la cible en temps fini en partant de la position initiale $x$. Autrement dit, la position $x$ appartient à $CaptViab_S(K)$.
Si le temps minimal de capture est nul, cela signifie que l’atteinte de la cible peut se faire immédiatement à partir de la position initiale $x$, ce qui implique que la position $x$ se situe dans la cible $C$.
Temps maximal garanti de capture
Il correspond à la date la plus éloignée avant laquelle, partant d’une position initiale $x$ donnée de l’état du système dynamique, l’atteinte de la cible est garantie quelle que soit la réalisation de l’incertitude en appliquant un contrôle adéquat.
Si le temps maximal garanti de capture est infini, alors il n’existe aucun contrôle adéquat susceptible de permettre d’atteindre la cible en temps fini en partant de la position initiale $x$. Autrement dit, la position $x$ se situe dans $K$ tout en n’appartenant pas à $GuarViab_S(K)$. Par conséquent, la position $x$ se situe dans le complémentaire dans $K$ de $GuarViab_S(K)$.
Si le temps maximal garanti de capture est fini, cela signifie qu’il existe au moins un contrôle adéquat qui garantit l’atteinte de la cible en temps fini en partant de la position initiale $x$. Autrement dit, la position $x$ appartient à $GuarViab_S(K)$.
Si le temps maximal garanti de capture est nul, cela signifie que l’atteinte de la cible peut se faire immédiatement à partir de la position initiale $x$, ce qui implique que la position $x$ se situe dans la cible $C$.
Notons que pour un système contrôlable avec application de contrôle adéquat pour atteindre une cible on a la relation d’ordre suivante :
$$
Temps minimal de capture \leq Temps maximal garanti de capture
$$