Diversité linguistique

Introduction

De nombreuses langues risquent de disparaître. Il est donc crucial de comprendre les mécanismes qui sous-tendent l'évolution du nombre de locuteurs et de déterminer s'il existe des mesures susceptibles d'aider à en préserver certaines.

Dans leur article,

Abrams, S. Strogatz, Modelling the dynamics of language death, Nature 424 (6951) (2003) 900

Abrams et Strogatz ont proposé un modèle mathématique pour étudier la concurrence entre les langues.
Ce modèle s'ajuste bien à plusieurs ensembles de données empiriques : il rend compte de manière satisfaisante des données historiques concernant le déclin du gallois,
du gaélique écossais, du quechua et d'autres langues menacées.

Dans le modèle d'Abrams et Strogatz ainsi que dans ceux qui en sont dérivés, on suppose que la taille de la population demeure constante. Par conséquent, les variables sont les proportions des différents groupes de locuteurs. Dans les modèles incluant le bilinguisme, la population se compose de trois groupes : les locuteurs monolingues de la langue A, les locuteurs monolingues de la langue B et les locuteurs bilingues AB ; le modèle est bidimensionnel, avec $\sigma_A$ représentant la proportion de locuteurs de la langue A et $\sigma_B$ la proportion de locuteurs de la langue B ($\sigma_{AB} = 1 - \sigma_A - \sigma_B$).

Au sein de toute sous-population linguistique, des forces et des influences amènent les membres d'un groupe à changer de langue au profit de l'autre. Dans le modèle d'Abrams et Strogatz, la vitesse à laquelle les locuteurs d'une langue apprennent la seconde langue dépend de l'attractivité de cette dernière. Dans leur définition la plus générale de l'attractivité, Abrams et Strogatz postulent qu'une langue est d'autant plus attractive qu'elle compte un grand nombre de locuteurs et qu'elle jouit d'un prestige élevé.

Dans leur article,

C. Bernard, S. Martin, Building strategies to ensure language coexistence in presence of bilingualism, Appl. Math. Comput. (2012), doi:10.1016/j.amc.2012.02.041

les auteurs modélisent uniquement les transitions des quatre types suivants : A → AB, AB → A, A → AB et AB → B ((les transitions A → B et B → A étant extrêmement rares en pratique). Ils supposent également une asymétrie entre monolingues et bilingues : A → AB (resp. B → AB) à un taux proportionnel à l'attractivité des locuteurs monolingues de A (resp. B) ; AB → A (resp. AB → B) à un taux proportionnel à l'attractivité de l'ensemble des locuteurs de A, y compris les bilingues (ainsi, certains bilingues peuvent devenir des locuteurs monolingues de A même si A ne compte aucun locuteur monolingue).
Par conséquent, le modèle bidimensionnel est défini par :

$$
\left\{\begin{array}{ll}
\sigma_A' &= (1-\sigma_A-\sigma_B)(1-\sigma_B)^as_A-\sigma_A\sigma_B^as_B\\
\sigma_B' &= (1-\sigma_A-\sigma_B)(1-\sigma_A)^as_B-\sigma_B\sigma_A^as_A
\end{array}\right.
$$

où $s_A$  (resp. $s_B$) désigne le prestige de la langue A (resp. B), et $a$ est un paramètre modélisant la manière dont l'attractivité d'une langue varie en fonction de la proportion de ses locuteurs.
Par commodité, les auteurs supposent que $s_A+s_B=1$ ce qui permet de substituer $s_A=s$ et $s_B=1-s$.

Le problème de la coexistence de deux langues

Bernard et Martin considèrent que le prestige, $s$, peut évoluer (sous l'effet de l'action publique, par exemple), mais que sa variation à chaque pas de temps est bornée. Ainsi, 

$$
s' = u\in U=[\underline{u};\bar{u}]
$$

Lorsque que $u>0$, le prestige de la langue A augmente et celui de B diminue, c'est l'inverse lorsque $u<0$.

La dynamique du système est ainsi décrite par :

$$
\left\{\begin{array}{ll}
\sigma_A' &= (1-\sigma_A-\sigma_B)(1-\sigma_B)^as-\sigma_A\sigma_B^a(1-s)\\
\sigma_B' &= (1-\sigma_A-\sigma_B)(1-\sigma_A)^a(1-s)-\sigma_B\sigma_A^as\\
s' &= u\in U=[\underline{u};\bar{u}]
\end{array}\right.
$$

Les auteurs proposent de rechercher des stratégies fondées sur les variations de prestige qui garantissent la coexistence des deux langues, c'est à dire qui maintiennent un niveau donné de locuteurs monolingues dans chacune des deux langues. L'ensemble des contraintes s'écrit donc :

$$
K:= [\underline{\sigma};1]\times[\underline{\sigma};1]\times [0;1]
$$

Résoudre ce problème, c'est trouver l'ensemble des états $(\sigma_A,sigma_B,s)$ à partir desquels il est possible de maintenir une certaine proportion des groupes monolingues en agissant sur la variation des prestiges relatifs des deux langues, c'est à dire le noyau de viabilité dans la terminologie de la théorie de la viabilité.

Résultats

Dans l'article cité ci-dessus, les auteurs ont établi une description analytique de la frontière du noyau de viabilité composée de courbes intégrales issues de points particuliers de la frontière de l'ensemble des contraintes.
Pour illustrer leur résultat, ils ont reproduit le noyau de viabilité pour les valeurs de paramètres $a=1.41$, $\underline{u}=-0.06$, $\bar{u}=0.06$, $\underline{\sigma}=0.1$.

Nous reproduisons ci-dessous 4 vues 3D de l'approximation du noyau de viabilité associé à ces valeurs de paramètres par le logiciel ViabLab à partir d'une grille de $201\times 201\times 201$ points (les lignes noires  représentent les arrêtes de l'ensemble de contraintes): 

Comme attendu, le noyau est invariant par la transformation $\sigma_A\rightarrow \sigma_B$, $\sigma_B\rightarrow \sigma_A$ et $s\rightarrow 1-s$.

Les situations non viables correspondent à des états à partir des desquels :

• même une augmentation continue d'intensité maximale du prestige de la langue A jusqu'à sa valeur maximale 1 ne permettra pas d'éviter que la proportion de ses locuteurs ne passe le seuil $\underline{\sigma}$,
• ou même une augmentation continue d'intensité maximale du prestige de la langue B jusqu'à sa valeur maximale 1 ne permettra pas d'éviter que la proportion de ses locuteurs ne passe le seuil $\underline{\sigma}$.