Définition :
C’est l’ensemble des états initiaux à partir desquels il existe au moins une trajectoire admissible respectant les contraintes pour tous les temps futurs.
Utilité :
Ce concept est central : il permet d’identifier la "zone sûre" du système à long terme.
Formellement :
Considérons un système dynamique contrôlable et en l’absence d’incertitude, en temps continu ou discret, pour lequel sont définies les trajectoires solutions :
| Temps continu | Temps discret |
| $$ S:\left\{ \begin{array}{ll} x'(t)&= F(x(t),u(t))\\ u(t)&\in U(x(t)) \end{array} \right. $$ |
$$ S:\left\{ \begin{array}{ll} x(t+1)&=\Phi(x(t),u(t))\\ u(t)&\in U(x(t)) \end{array} \right. $$ |
| $$ S(x_o) := \{x(t)|\exists u(t) | for\, almost\, all\, t^in R^+, u(t)\in U(x(t))\, and \, x'(t)= F(x(t),u(t))\} $$ |
$$ S(x_o) := \{x(t)|\exists u(t) | \forall t\in N, u(t)\in U(x(t))\, and \, x(t+1)= \Phi(x(t),u(t))\} $$ |
et un ensemble de contraintes $K$.
Un sous-ensemble $D$ est un domaine de viabilité pour $F$ si et seulement si pour toute position $x$ de l’état du système dynamique appartenant à $D$, il existe au moins une évolution partant de $x$, $x(t)\in S(x)$, telle que : $\forall t\geq 0$, $x(t) \in D$. Autrement dit, il existe au moins une loi de contrôle en boucle ouverte qui gouverne une évolution qui reste toujours dans $D$.
On appelle noyau de viabilité de $K$ pour $F$ le plus grand domaine de viabilité pour $F$ fermé contenu dans $K$. On le note : $Viab_S(K)$.
Remarque : On ne dit pas qu’une position initiale est viable mais on dit qu’à partir d’une position initiale, il existe au moins une évolution viable. Tant que l’on ne connaît pas le noyau de viabilité, on ne peut pas parler de viabilité d’une position initiale, sauf à dire que cette position initiale est admissible ou non (c’est-à-dire qu’elle appartient à $K$ ou non).