Sciences sociales

Introduction

De nombreuses langues risquent de disparaître. Il est donc crucial de comprendre les mécanismes qui sous-tendent l'évolution du nombre de locuteurs et de déterminer s'il existe des mesures susceptibles d'aider à en préserver certaines.

Dans leur article,

Abrams, S. Strogatz, Modelling the dynamics of language death, Nature 424 (6951) (2003) 900

Abrams et Strogatz ont proposé un modèle mathématique pour étudier la concurrence entre les langues.
Ce modèle s'ajuste bien à plusieurs ensembles de données empiriques : il rend compte de manière satisfaisante des données historiques concernant le déclin du gallois,
du gaélique écossais, du quechua et d'autres langues menacées.

Dans le modèle d'Abrams et Strogatz ainsi que dans ceux qui en sont dérivés, on suppose que la taille de la population demeure constante. Par conséquent, les variables sont les proportions des différents groupes de locuteurs. Dans les modèles incluant le bilinguisme, la population se compose de trois groupes : les locuteurs monolingues de la langue A, les locuteurs monolingues de la langue B et les locuteurs bilingues AB ; le modèle est bidimensionnel, avec $\sigma_A$ représentant la proportion de locuteurs de la langue A et $\sigma_B$ la proportion de locuteurs de la langue B ($\sigma_{AB} = 1 - \sigma_A - \sigma_B$).

Au sein de toute sous-population linguistique, des forces et des influences amènent les membres d'un groupe à changer de langue au profit de l'autre. Dans le modèle d'Abrams et Strogatz, la vitesse à laquelle les locuteurs d'une langue apprennent la seconde langue dépend de l'attractivité de cette dernière. Dans leur définition la plus générale de l'attractivité, Abrams et Strogatz postulent qu'une langue est d'autant plus attractive qu'elle compte un grand nombre de locuteurs et qu'elle jouit d'un prestige élevé.

Dans leur article,

C. Bernard, S. Martin, Building strategies to ensure language coexistence in presence of bilingualism, Appl. Math. Comput. (2012), doi:10.1016/j.amc.2012.02.041

les auteurs modélisent uniquement les transitions des quatre types suivants : A → AB, AB → A, A → AB et AB → B ((les transitions A → B et B → A étant extrêmement rares en pratique). Ils supposent également une asymétrie entre monolingues et bilingues : A → AB (resp. B → AB) à un taux proportionnel à l'attractivité des locuteurs monolingues de A (resp. B) ; AB → A (resp. AB → B) à un taux proportionnel à l'attractivité de l'ensemble des locuteurs de A, y compris les bilingues (ainsi, certains bilingues peuvent devenir des locuteurs monolingues de A même si A ne compte aucun locuteur monolingue).
Par conséquent, le modèle bidimensionnel est défini par :

$$
\left\{\begin{array}{ll}
\sigma_A' &= (1-\sigma_A-\sigma_B)(1-\sigma_B)^as_A-\sigma_A\sigma_B^as_B\\
\sigma_B' &= (1-\sigma_A-\sigma_B)(1-\sigma_A)^as_B-\sigma_B\sigma_A^as_A
\end{array}\right.
$$

où $s_A$  (resp. $s_B$) désigne le prestige de la langue A (resp. B), et $a$ est un paramètre modélisant la manière dont l'attractivité d'une langue varie en fonction de la proportion de ses locuteurs.
Par commodité, les auteurs supposent que $s_A+s_B=1$ ce qui permet de substituer $s_A=s$ et $s_B=1-s$.

Le problème de la coexistence de deux langues

Bernard et Martin considèrent que le prestige, $s$, peut évoluer (sous l'effet de l'action publique, par exemple), mais que sa variation à chaque pas de temps est bornée. Ainsi, 

$$
s' = u\in U=[\underline{u};\bar{u}]
$$

Lorsque que $u>0$, le prestige de la langue A augmente et celui de B diminue, c'est l'inverse lorsque $u<0$.

La dynamique du système est ainsi décrite par :

$$
\left\{\begin{array}{ll}
\sigma_A' &= (1-\sigma_A-\sigma_B)(1-\sigma_B)^as-\sigma_A\sigma_B^a(1-s)\\
\sigma_B' &= (1-\sigma_A-\sigma_B)(1-\sigma_A)^a(1-s)-\sigma_B\sigma_A^as\\
s' &= u\in U=[\underline{u};\bar{u}]
\end{array}\right.
$$

Les auteurs proposent de rechercher des stratégies fondées sur les variations de prestige qui garantissent la coexistence des deux langues, c'est à dire qui maintiennent un niveau donné de locuteurs monolingues dans chacune des deux langues. L'ensemble des contraintes s'écrit donc :

$$
K:= [\underline{\sigma};1]\times[\underline{\sigma};1]\times [0;1]
$$

Résoudre ce problème, c'est trouver l'ensemble des états $(\sigma_A,sigma_B,s)$ à partir desquels il est possible de maintenir une certaine proportion des groupes monolingues en agissant sur la variation des prestiges relatifs des deux langues, c'est à dire le noyau de viabilité dans la terminologie de la théorie de la viabilité.

Résultats

Dans l'article cité ci-dessus, les auteurs ont établi une description analytique de la frontière du noyau de viabilité composée de courbes intégrales issues de points particuliers de la frontière de l'ensemble des contraintes.
Pour illustrer leur résultat, ils ont reproduit le noyau de viabilité pour les valeurs de paramètres $a=1.41$, $\underline{u}=-0.06$, $\bar{u}=0.06$, $\underline{\sigma}=0.1$.

Nous reproduisons ci-dessous 4 vues 3D de l'approximation du noyau de viabilité associé à ces valeurs de paramètres par le logiciel ViabLab à partir d'une grille de $201\times 201\times 201$ points (les lignes noires  représentent les arrêtes de l'ensemble de contraintes): 

Comme attendu, le noyau est invariant par la transformation $\sigma_A\rightarrow \sigma_B$, $\sigma_B\rightarrow \sigma_A$ et $s\rightarrow 1-s$.

Les situations non viables correspondent à des états à partir des desquels :

• même une augmentation continue d'intensité maximale du prestige de la langue A jusqu'à sa valeur maximale 1 ne permettra pas d'éviter que la proportion de ses locuteurs ne passe le seuil $\underline{\sigma}$,
• ou même une augmentation continue d'intensité maximale du prestige de la langue B jusqu'à sa valeur maximale 1 ne permettra pas d'éviter que la proportion de ses locuteurs ne passe le seuil $\underline{\sigma}$.

Résumé

Ce travail propose d’explorer comment les concepts de durabilité, de résilience et de changement de régime peuvent être mobilisés dans le cadre de la modélisation et simulation participative (approche ComMod). 

En s’appuyant sur la méthode développée par Mathias et al. (2024) pour identifier les différents régimes d’un modèle stochastique, nous avon adapté ces outils à un modèle multi-agents représentant la pêcherie du lac de Guiers au Sénégal. L’objectif est d’évaluer, comment un système socio-écologique soumis à des incertitudes peut passer d’un état « satisfaisant et durable » à un état « satisfaisant et non-durable » ou « non satisfaisant durable », ou inversement (c.f. fig. 1), selon les conditions définies collectivement avec les parties prenantes.

Au-delà de la mise en œuvre technique, cette étude initie une réflexion sur les enjeux de l'exploration des régimes dans un cadre participatif, où les résultats de la modélisation peuvent déboucher sur des recommandations difficiles — comme une suspension temporaire de la pêche pour préserver la ressource. Elle souligne à la fois le potentiel de ces approches pour structurer le dialogue entre chercheurs et acteurs de terrain, et leurs limites pratiques liées à la complexité des modèles et à la nature stochastique des systèmes étudiés. Ce travail constitue ainsi une première étape vers une intégration concrète des notions de durabilité et de résilience dans les processus de décision collective autour de la gestion durable des pêcheries continentales

Les idées originelles

L’article « From tipping point to tipping set: Extending the concept of regime shift to uncertain dynamics for real-world applications » (Mathias, Deffuant & Brias, Ecological Modelling, 2024) propose une refondation du concept de changement de régime dans les systèmes socio-écologiques. Les auteurs soulignent que la définition classique, basée sur des transitions entre bassins d’attraction dans des systèmes déterministes, devient inadaptée lorsque les dynamiques sont soumises à des perturbations aléatoires. Pour pallier cela, ils introduisent la notion d’ensemble de bascule (tipping set), qui remplace le point de bascule unique. Leur approche s’appuie sur la définition d’un ensemble de satisfaction, correspondant aux états jugés « souhaitables » selon des critères écologiques, économiques ou sociaux, et sur deux indicateurs statistiques : le temps moyen de séjour dans cet ensemble et le temps médian de sortie. Ces mesures permettent de distinguer différents régimes — satisfaction durable, satisfaisant non durable, insatisfaisant durable, insatisfaisant non durable, et résiliente — et de caractériser la stabilité du système en prenant en compte les incertitudes.

Le contexte de l'intervention

Le travail s’inscrit dans le cadre du Living Lab de Mbane initier dans le cadre du projet Santés & Territoires, autour du lac de Guiers au Sénégal, où la pêche constitue à la fois une ressource alimentaire essentielle et un pilier économique pour les communautés locales. Face à la surexploitation des ressources halieutiques et aux pressions environnementales, Nous avons mis en place une démarche de modélisation d’accompagnement (ComMod) visant à co-construire avec les pêcheurs une compréhension partagée du système de pêche pour identifier les marges de manoeuvre d'addapations. Cette approche participative, a permis de co-construire un modèles a base d'agent (avec NetLogo) avec les pêcheurs du lac, qui permet de relier les savoirs locaux aux outils scientifiques. L’objectif est d’aider les acteurs locaux à anticiper les impacts de leurs pratiques et à formuler collectivement des règles de gestion plus robustes et adaptées à leur contexte socio-écologique.

Les résultats

Les résultats de ce travail montrent d’abord la faisabilité technique de l’implémentation des calculs de régimes dans des modèles stochastiques, en s’appuyant sur les travaux de Mathias et al. (2024). Après avoir vérifié la validité de leur approche sur un modèle théorique d’exploitation de ressources naturelles, les auteurs l’appliquent à un modèle multi-agents représentant la pêcherie du lac de Guiers au Sénégal. Les simulations permettent d’identifier différents types de régimes selon des critères de satisfaction définis collectivement : la durabilité économique des pêcheurs (mesurée par leur capital) et la durabilité écologique (liée à la biomasse du lac). Ces exploration révèlent que, dans les conditions simulées, les situations véritablement « satisfaisantes et durables » sont rares : le système tend globalement vers des états non durables, suggérant une vulnérabilité structurelle de la pêcherie face à la pression d’exploitation.

Malgré la portée largement qualitative et exploratoire de ces résultats, le modèle n’étant pas encore calibré sur des données réelles. l'intérêt réside surtout dans la démonstration du potentiel de ces outils pour accompagner les acteurs dans la compréhension des dynamiques complexes de la pêche et dans la formulation de décisions collectives. En particulier, l’identification d’ensembles de bascule — zones d’incertitude entre régimes durables et non durables — offre un support de discussion sur les limites et les risques liés à certaines pratiques. Nous soulignons enfin que ces approches nécessitent un dialogue étroit avec les parties prenantes, car elles peuvent aboutir à des recommandations difficiles, comme la fermeture temporaire de la pêche, tout en constituant une base solide pour articuler modélisation scientifique, participation locale et gestion durable des ressources.

Introduction 

L'accumulation de nutriments (comme le phosphore ou l'azote) dans l'eau d'un lac peut amener un changement d'état qui s'accompagne de prolifération d'algues, de dégradation de la qualité de l'eau et de la biodiversité, éventuellement de bloom bactérien : c'est l'eutrophisation. Le problème du lac et des exploitations riveraines consiste à   déterminer s'il est possible de concilier la pratique d'une activité qui apporte des nutriments et la conservation du lac dans un état souhaitable (oligotrophe, par opposition à eutrophe).

Ce problème est décrit en détail dans :

S. Martin. The cost of restoration as a way of defining resilience: a viability approach applied to a model of lake eutrophication. Ecol. Soc.   http://www.ecologyandsociety.org/vol9/iss2/art8

Modélisation

On souhaite que les apports $L$ soient supérieurs à un seuil $L_{min}$, pour tenir compte des besoins de l'activité des exploitations riveraines ; et que la concentration du phosphore total, $P$ soit inférieure à un seuil $P_{max}$ pour conserver le lac oligotrophe. Ces états souhaitables constituent l'ensemble de contraintes $K=[L_{min}, +\infty[ \times [0,P_{max}]$.

L'évolution de la concentration du phosphore total dans le lac est modélisée par une pseudo-sygmoïde :

$$\frac {dP} {dt}=-bP(t)+L(t)+r\frac {P(t)^{q}} {m^{q} + P(t)^{q}} \qquad$$

On suppose que l'évolution des apports de phosphore peut être contrôlée (par des unités de dépollution, la mise en place de zones humides, le changement de pratique agricoles ou industrielles, etc.) et on modélise ces contrôles par une grandeur unique $u \in [u_{min},u_{max}]$.  La dynamique des apports est modélisée par :

$$\frac {dL} {dt}=u \in [- u_{min}, u_{max}] \qquad$$

Le problème de viabilité est donc défini par :

\begin{equation}
(P)\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dL}{dt}=u\in U=\left[ u_{min},u_{max}\right] \\
\frac{dP}{dt}=-b P(t) + L(t) +r\frac{P(t)^{q}}{m^{q} + P(t)^{q}} \\
\left(L(t),P(t)\right) \in K=[L_{min}, +\infty[ \times [0,P_{max}]
\end{array}
\right.
\end{equation}

Résoudre ce problème, c'est trouver l'ensemble des états $(L,P)$ à partir desquels il est possible en agissant les variations des apports en phosphates de conserver au cours du temps un lac oligotrophe tout en maintenant des activités agricoles, c'est à dire le noyau de viabilité dans la terminologie de la théorie de la viabilité.

Résultats

Le noyau de viabilité peut être obtenu par le calcul d'une courbe intégrale (voir page 7 dans https://arxiv.org/pdf/2107.02684 ).

En effet, sa frontière est définie par une courbe fermée formée de sous-ensembles de la frontière de l'ensemble de contraintes $K$ et d'une courbe intégrale issue du point $(L_e,P_{max})$ avec $\frac{dP}{dt}(L_e,P_{max}) =0$ qui suit la dynamique inverse : 
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dL}{dt}=-u_{min}\\
\frac{dP}{dt}=-(-b P(t) + L(t) +r\frac{P(t)^{q}}{m^{q} + P(t)^{q}}) 
\end{array}
\right.
\end{equation}

La figure suivante montre le résultat pour les paramètres suivants : $b=1,95$ an$^{-1}$ ; $q=1,9$ ; $m=19,44\  \mu gl^{-1}$; $r=72,22\  \mu gl^{-1}$ an$^{-1}$; $L_{min}=1,25\  \mu gl^{-1}$ ; $P_{max}=17,39\  \mu gl^{-1}$ ;   $|u_{min}|=u_{max}=3,15$.

Ce problème de viabilité, par l'existence de la description de sa frontière à l'aide d'une courbe intégrale permet de tester la finesse d'approximations issues de logiciels génériques.

Ci-dessous la comparaison pour $b=0.8$ year$^{-1}$ ; $q=8$ ; $m=1\  \mu gl^{-1}$; $r=1\  \mu gl^{-1}$ year$^{-1}$; $L_{min}=0.1\  \mu gl^{-1}$ ; $P_{max}=1.2\  \mu gl^{-1}$ ;   $-u_{min}=u_{max}=0.09$ entre le noyau de viabilité décrit par la courbe intégrale (en rouge) et le résultat approché obtenu avec le logiciel ViabLab sur une grille régulière de 3001*3001points (ensemble bleu clair avec la frontière bleu foncé) :

On remarque que conformément à la description de l'algorithme de viabilité de Patrick Saint-Pierre, l'approximation du noyau est bien faite par l'extérieur.