Introduction
Les maladies à transmission vectorielle sont causées par divers types d'agents pathogènes, notamment des virus et des bactéries, transmis par des vecteurs tels que les moustiques, les tiques, entre autres. Selon l'Organisation mondiale de la Santé, ces maladies entraînent plus de 700 000 décès chaque année.
Ross a été le premier à tenter de modéliser ce phénomène pour proposer des stratégies de lutte contre les épidémies de moaldies à transmission vectorielle. Le modèle qui porte son nom a été publié en 1911
Ross, R. (1911). Some Quantitative Studies in Epidemiology. 87, 466 - 467.
et sera à l'origine de nombreux autres modèles. Ross a envisagé un modèle simple du paludisme comportant humains et moustiques qui ne peuvent appartenir qu'à deux catégories : infectés et non infectés. Les naissances, compensent les décès, les nombres d'humains et de moustiques sont constants.
Dans les modèles inspirés par Ross, ceux, connus sous le nom de Ross-MacDonald, prennent comme variables les proportions d'infectés par rapport à la population totale pour s'affranchir de l'hypothèse des populations constantes, par exemple la proportion d'humains infectés, $h$ et la proportion de moustiques infectés, $m$.
Les populations d'hôtes et de vecteurs sont en mélange homogène. Chaque population est subdivisée en classes épidémiologiques, dans le cas le plus simple, deux classes, les individus sains (susceptibles) et infectieux (infectés). Les vecteurs, par exemple les moustiques, piquent à un taux $\alpha$ (nombre quotidien de piqûres par moustique sur humain, par exemple). Si $p_h$ désigne la probabilité de transmission de l'infection aux hôtes par piqûre, et $p_m$ la probabilité d'infection du moustique lors d'une piqûre sur un hôte infectieux, alors le taux d'infection des hôtes sains est donné par $\alpha p_h \xi m(1-h)$, tandis que le taux d'infection des vecteurs sains est donné par $\alpha p_m h (1-m)$. Ces formes fonctionnelles des taux d'infection sont caractéristiques de tous les modèles de type Ross-Macdonald.
Les équations qui régissent l'évolution des proportions d'infectés dans les deux populations sont ainsi :
$$
\begin{array}{ll}
\frac{dm}{dt} &= \alpha p_m h (1-m) − \delta m \\
\frac{dh}{dt} &= \alpha p_h \xi m(1-h) −\gamma h
\end{array}
$$
avec $\gamma$, le taux de guérison chez l'humain et $\delta$, le taux de mortalité (naturelle) des moustiques.
Le contrôle viable d'un modèle d'épidémiologie
Dans l'article
Michel de Lara, Lilian Sofia Sepulveda Salcedo. Viable Control of an Epidemiological Model. Mathematical Biosciences, 2016, 280, pp.24-37. ⟨10.1016/j.mbs.2016.07.010⟩. ⟨hal-01208484v2⟩
les auteurs proposent de s'intéresser aux stratégies qui visent à limiter le nombre d'humains infectés au moment du pic de l'épidémie.
Dynamiques et contraintes
Les auteurs considèrent une version contrôlée du modèle épidémiologique dynamique de Ross-Macdonald : la mortalité des vecteurs représente la variable de commande.
En effet des actions de fumigation par exemple peuvent conduire à un taux de mortalité des moustiques bien plus élevé que le taux naturel $\delta$. Ainsi, sont définies les fonctions $u(.)$ qui contrôlent la population de moustiques en affectant leur mortalité en plus de leur mortalité naturelle. Ainsi, $u(t)\in [\delta;\bar{u}]$ pour tout $t$ avec $\bar{u}$ représentant l'efficacité maximale de ces méthodes de destruction des moustiques.
La variable $\bar{H}\in [0;1]$ représente le taux maximal d'infectés tolérable dans la population humaine.
Un état est dit « viable » s'il existe au moins une trajectoire de commande admissible — définie par des taux de mortalité des moustiques variant dans le temps et bornés par la capacité de contrôle — telle que, en partant de cet état, la proportion d'humains infectés reste, à tout instant, inférieure à un seuil d'infection donné. L'ensemble des états viables est appelé « noyau de viabilité ». Nous obtenons trois expressions distinctes pour ce noyau, selon le couple formé par la capacité de contrôle et le seuil d'infection. Dans le cas favorable, où le seuil d'infection est élevé, le noyau de viabilité est maximal et toutes les trajectoires de commande admissibles sont viables. Dans le cas critique, où la capacité de contrôle et le seuil d'infection sont tous deux trop faibles, le noyau de viabilité se réduit à l'équilibre nul (absence d'infection). Enfin, dans le cas intermédiaire, le noyau de viabilité n'est ni nul ni maximal, et toutes les trajectoires de commande admissibles ne sont pas viables. Nous présentons une application numérique basée sur l'épidémie de dengue survenue en 2013 à Cali, en Colombie.