Débutant

Considérons le modèle classique proies-prédateurs de Lotka-Volterra, avec un contrôle qui agit sur les prédateurs, représenté par un terme de mortalité. L'objectif est de protéger les proies en maintenant leur densité au dessus d'un seuil donné.

Variables d'état

• $x$ :  les proies
• $y$ : les prédateurs

Variables de commande

$u$ :  le taux de mortalité des proies

Dynamique

$$\left\{\begin{array}{l}x'=x*(r-y)\\ y'=y*(x-m-u)\\ u\in [0;u_{\max}]\end{array}\right.$$
 
Paramètres : $r$, $m$ et $u_{\max}$.

Ensemble de contraintes

$$x>=\bar{x}$$

Domaine de définition de l'espace d'état

$$\left\{\begin{array}{l}x\geq 0\\y\geq 0\end{array}\right.$$

Valeurs des paramètres

$r=1$, $m=1$, $u_{\max}=0.5$ et $\bar{x}=0.8$.

Pour calculer le noyau de viabilité avec  VIABLAB 3.02, copier les deux fichiers:

Considérons le modèle classique proies-prédateurs de Lotka-Volterra, avec un contrôle qui agit sur les prédateurs, représenté par un terme de mortalité. L'objectif est de protéger les proies en maintenant leur densité au dessus d'un seuil donné.

Variables d'état

• $x$ :  les proies
• $y$ : les prédateurs

Variables de commande

$u$ :  le taux de mortalité des proies

Dynamique

$$\left\{\begin{array}{l}x'=x*(r-y)\\ y'=y*(x-m-u)\\ u\in [0;u_{\max}]\end{array}\right.$$
 
Paramètres : $r$, $m$ et $u_{\max}$.

Ensemble de contraintes

$$x>=\bar{x}$$

Domaine de définition de l'espace d'état

$$\left\{\begin{array}{l}x\geq 0\\y\geq 0\end{array}\right.$$

Valeurs des paramètres

$r=1$, $m=1$, $u_{\max}=0.5$ et $\bar{x}=0.8$.

Pour calculer le noyau de viabilité avec  VIABLAB 3.02, copier les deux fichiers:

L’herbe est une ressource renouvelable dont le taux de croissance dépend de la période de l’année mais aussi de sa hauteur et des condition météorologiques. Une gestion fine du pâturage demande donc de fixer de manière dynamique, le niveau de chargement (nombre d’animaux par hectare) pour nourrir les animaux tout en évitant les phénomènes de surpâturage. Du fait de l’incertitude sur la croissance de l’herbe liée aux conditions météorologiques, l’enjeu est de mettre en œuvre des séquences de pâturage qui soient non seulement productives mais aussi robustes et adaptables.

Ce problème est décrit en détails dans : 

Sabatier R, Oates, LG, Jackson RD, 2015, Management flexibility of a grassland agroecosystem: A modeling approach based on viability theory, Agricultural Systems http://dx.doi.org/10.1016/j.agsy.2015.06.008

Le système se caractérise par :

• deux états X(t) la biomasse de la ressource en herbe et P(t) le niveau de production cumulée. 

• un contrôle U(t), le chargement

• une incertitude ω ∈ Ω sur le taux de croissance de l’herbe

Du fait du pas de temps journalier de la gestion du chargement, le modèle est discrétisé en temps. De plus, les vaches étant retirées des parcelles pendant plusieurs mois d’affilée en hiver, on se focalise sur une seule saison de pâturage, ce qui implique un horizon temporel finit, t ∈ [90, 300].

La dynamique est la suivante :

Avec r(t, ω) le taux de croissance de l’herbe, K(t) un coefficient de saturation, X_min, la biomasse d’herbe correspondant à la hauteur minimale de pâturage (les vaches sont incapables de prélever de l’herbe d’une hauteur inférieure à un certain seuil), q la quantité de biomasse prélevée par vache et par jour. 

Deux contraintes sont définies :

• Une contrainte visant à éviter le surpâturage : qU(t) ≤ X(t)−X_min

• Une contrainte visant à assurer un niveau minimal de production sur la saison P(T) ≥ P_min

Values of model parameters :

•  saturation coefficient $K$ and growth coefficient $r$ depend on time and take the successive values of the corresponding vectors at times 90, 105, 140, 200, 251, 280, and 320 ; 

• $q$ is the daily feed intake by cattle, $q = 14.3$;
• and $w$ is a multiplying coefficient that reflects the daily weather variation, $w \in [0.95; 1.0; 1.05]$.