Gestion du pâturage
Introduction
L'un des enjeux majeurs de la gestion des prairies pâturées consiste à concilier des objectifs antagonistes : accroître les profits à court terme tout en préservant la viabilité à long terme du parcours.
En effet, augmenter la charge pastorale (nombre d'animaux par hectare) permet d'accroître les gains à court terme, mais peut entraîner une dégradation pratiquement irréversible du milieu si la pression de pâturage qui en résulte est excessive. À l'inverse, maintenir une charge pastorale trop faible peut engendrer un manque à gagner considérable.
Dans leur article
Anderies, J., Janssen, M. & Walker, B. Grazing Management, Resilience, and the Dynamics of a Fire-driven Rangeland System. Ecosystems 5, 23–44 (2002). https://doi.org/10.1007/s10021-001-0053-9
les auteurs utilisent le modèle suivant pour rendre compte des interactions entre la pousse de l'herbe et la pression de pâturage :
$$
\left\{\begin{array}{ll}
c'(t) &= r_cs-\delta_cc\\
s'(t)&= c(a_c+r_ss)(1-\frac{s}{s^*}-\alpha_{ws}(\frac{w}{w^*})^\beta)-\gamma_gs\\
w'(t)&=r_ww(1-\frac{w}{w^*})
\end{array}\right.
$$
Concernant l'herbe, $c(t)$ et $s(t)$ représentent respectivement la biomasse de la couronne (racines plus points de croissance) et celle de la partie aérienne à l'instant $t$. Le paramètre $s^*$ correspond à la biomasse aérienne maximale par unité de surface, tandis que $\gamma_g$ représente la fraction de la partie aérienne prélevée par la pression de pâturage exercée par l'ensemble des animaux présents. La couronne croît à un taux $r_cs$ en présence de parties aériennes et régresse à un taux $\delta_c$.
$a_c$ correspond au taux de croissance de la biomasse aérienne par unité de biomasse de la couronne, $r_s$ au taux de croissance de la biomasse aérienne par unité de biomasse de la couronne et par unité de biomasse aérienne.
La croissance de l'herbe est également affectée par la présence d'arbustes : $w(t)$ représente la biomasse des arbustes, $r_w$ le taux de croissance intrinsèque des arbustes, $w^*$ la biomasse maximale des arbustes par unité de surface, et $w_s(=w/w^*)$ modélise l'effet de compétition des arbustes sur l'herbe. Le paramètre $\beta$ mesure la non-linéarité relative de cet effet.
Le problème de viabilité du gestionnaire de pâtures
L'objectif de la gestion des parcours de pâturage consiste à identifier des stratégies d'intervention (modifications de la charge pastorale) permettant de concilier deux contraintes : nourrir suffisamment les animaux tout en préservant la qualité de l'herbe.
Dans l'article
Martin, Sophie & Deffuant, Guillaume & Calabrese, Justin. (2011). Defining Resilience Mathematically: From Attractors To Viability. 10.1007/978-3-642-20423-4_2.
les auteurs étudient ce problème de viabilité en utilisant un modèle de pousse d'herbe simplifié en supposant que la population d'arbuste est constante à la valeur d'équilibre et que la biomasse de la couronne prend instantanément la valeur d'équilibre associée à la biomasse aérienne :
$$
w = w^* \text{ and } c = \frac{r_c}{\delta_c}s.
$$
L'action possible sur le système est de faire varier la pression de pâturage et cette variation est supposée bornée, l'achat de nouveaux animaux ou leur vente prend un certain temps :
$$
\gamma'(t) = u(t) \in [u_{min},u_{max}].
$$
La dynamique du système est ainsi décrite par :
$$
\left\{\begin{array}{ll}
\gamma_g'(t)&= u \in [u_{min},u_{max}]\\
s'(t)&= \frac{r_c}{\delta_c}(a_c+r_ss)(1-\frac{s}{s^*}-\alpha_{ws})-\gamma_gs.
\end{array}\right.
$$
La contrainte sur la qualité de l'herbe est modélisée par une valeur de la biomasse aérienne qui comprise entre deux bornes, la borne inférieure pour assurer le renouvellement, la borne supérieure pour préserver l'appétence. La contrainte sur la nourriture du bétail est modélisée par une pression de pâturage également supérieure à un seuil au cours du temps. L'ensemble des contraintes s'écrit donc :
$$
K(\underline{g},s_{min},s_{max}):=[\underline{g},+\infty[\times [s_{min},s_{max}].
$$
Résoudre ce problème, c'est trouver l'ensemble des états $(s,\gamma_g)$ à partir desquels il est possible de nourrir le troupeau en conservant une herbe de qualité en faisant en agissant sur la variation du nombre d'animaux, c'est à dire le noyau de viabilité dans la terminologie de la théorie de la viabilité.
| Dynamiques | Contrôles | Incertitudes | Contraintes | Cible | Concept de Viabilité |
|
Temps continu Continues en espace de dimension 2 \begin{equation} Paramètres : $r_c, \delta_c, a_c, r_s, s^*, \alpha_{ws}$ |
$u\in U=\left[ u_{min},u_{max}\right]$ Paramètres : $u_{min},u_{max}$ |
Aucune |
$
Paramètres : $\underline{g}, s_{min},s_{max}$ |
Aucune | Noyau de viabilité |
$$
\left\{\begin{array}{ll}
s'(t)&= \frac{r_c}{\gamma_c}(a_c+r_ss)(1-\frac{s}{s^*}-\alpha_{ws})-\gamma_gs\\
\gamma_g'(t)&= u \in [-0.02;0.02].
\end{array}\right.
$$
Résultats
Valeurs des paramètres : $r_c=1$, $\delta_c=1$, $a_c=0.1$, $r_s=3$, $s^*=1$, $\alpha_{ws}=0.5$, $u_{min} = -0.02$, $u_{max} = 0.02$, $\underline{g}=0$, $s_{min} = 0.1$, $s_{max} = 0.18$.
Nous mettons à disposition ci-dessous les fichiers nécessaires pour calcuer les approximations susmentionnées à l'aide du logiciel ViabLab.
Veuillez consulter les supports de formation :