La propriété dite de « turnpike » (ou de l'autoroute), remonte à un texte consacré à l'économétrie du prix Nobel Paul Samuelson et coauteurs
R. Dorfman, P.A. Samuelson, R. Solow, Linear programming and economic analysis, New York, McGraw-Hill, 1958.
Les auteurs produisent une preuve de l'optimalité de stratégies consistant à choisir durant une période intermédiaire une configuration du capital qui permet la croissance la plus rapide.
"La situation est exactement comparable à celle d'une autoroute doublée d'un réseau de routes secondaires. Il existe un itinéraire le plus rapide entre deux points quelconques ; si le point de départ et la destination sont proches l'un de l'autre et éloignés de l'autoroute, le meilleur itinéraire peut ne pas emprunter cette dernière. En revanche, si le point de départ et la destination sont suffisamment éloignés, il sera toujours avantageux de rejoindre l'autoroute et de parcourir la distance à la vitesse optimale, même si cela implique un léger allongement du trajet aux deux extrémités." (traduction d'un extrait du texte cité ci-dessus)
Un exemple de problème d'autoroute
Dans leur article, consacré à l'étude des stratégies optimales mixtes (arcs Bang - contrôle extrémal ; arcs singuliers - contrôle non extrémal),
Ruben Chenevat, Bruno Cheviron, Sébastien Roux, Alain Rapaport. Extension of the Bang-Bang Principle for spatially-temporally regional affine dynamics under constraints. 2024. hal-04606183
les auteurs étudient un problème de type "autoroute".
La dynamique en 2D est telle que la croissance maximale de $y$ a lieu lorsque $x=1$ (c'est l'autoroute) et le contrôle agit sur $x$ permettant de choisir de circuler sur cette autoroute :
De plus, le temps minimal pour atteindre $F$ vaut $4$.
Le problème de l'autoroute revisité avec les concepts de la théorie de la viabilité
Depuis
J.-P.AUBIN & H. FRANKOWSKA, « The viability kernel algorithm for computing value functions of infinite horizon optimal control problems », Journal of mathematical analysis and applications, vol. 201, 555–576, 1996.
des liens sont établis entre les problèmes de contrôle optimal et les noyaux de viabilité ou bassins de capture.
Associer à chaque point de l'environnement $K$ la valeur du temps minimal nécessaire pour atteindre la cible $C$ revient à calculer le bassin de capture dans la terminologie de la théorie de la viabilité pour le système initial augmenté d'une dimension, celle du coût associé au temps qui s'écoule. En effet, ce bassin de capture correspond à l'épigraphe de la fonction de temps minimal (i.e. l'ensemble des points situés au-dessus de sa courbe représentative) :
De plus, l'ensemble des trajectoires issues de $(x_0,y_0)$ réalisant ce temps minimal d'atteinte de cible correspond à l'ensemble des trajectoires issues de $(x_0,y_0)$ contenues dans $Capt(K,C)$.
Le calcul du bassin de capture permet d'obtenir la valeur du temps minimal pour atteindre la cible pour tous les points de l'ensemble $K$.
En choisissant $K = ?$ et $C = ?$, nous reproduisons l'approximation de la fonction temps minimal calculée par le logiciel ViabLab sur une grille de ??? points.
Introduction
La propriété dite de « turnpike » (ou de l'autoroute), remonte à un texte consacré à l'économétrie du prix Nobel Paul Samuelson et coauteurs
Les auteurs produisent une preuve de l'optimalité de stratégies consistant à choisir durant une période intermédiaire une configuration du capital qui permet la croissance la plus rapide.
"La situation est exactement comparable à celle d'une autoroute doublée d'un réseau de routes secondaires. Il existe un itinéraire le plus rapide entre deux points quelconques ; si le point de départ et la destination sont proches l'un de l'autre et éloignés de l'autoroute, le meilleur itinéraire peut ne pas emprunter cette dernière. En revanche, si le point de départ et la destination sont suffisamment éloignés, il sera toujours avantageux de rejoindre l'autoroute et de parcourir la distance à la vitesse optimale, même si cela implique un léger allongement du trajet aux deux extrémités." (traduction d'un extrait du texte cité ci-dessus)
Un exemple de problème d'autoroute
Dans leur article, consacré à l'étude des stratégies optimales mixtes (arcs Bang - contrôle extrémal ; arcs singuliers - contrôle non extrémal),
les auteurs étudient un problème de type "autoroute".
La dynamique en 2D est telle que la croissance maximale de $y$ a lieu lorsque $x=1$ (c'est l'autoroute) et le contrôle agit sur $x$ permettant de choisir de circuler sur cette autoroute :
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
x'(t) &= u(t) \\
y'(t) &= F(x(t)) \\
u(t) &\in [-1;1]
\end{array}
\right.
\end{equation}
avec
\begin{equation}
F(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x & \text{si } x\leq 1 \\
2-x & \text{si } x\geq 1
\end{array}
\right.
\end{equation}
La cible à atteindre est un point particulier de l'espace, le point $F:(2,3)$.
Les auteurs démontrent qu'à partir de l'origine, la trajectoire optimale pour atteindre le point $F$ est de type "Bang - Singulière - Bang" :
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{lll}
u^*(t) &= 1 & t\in [0;1]\\
u^*(t) &= 0 & t\in [1;3]\\
u^*(t) &= 1 & t\in [3;4]\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
De plus, le temps minimal pour atteindre $F$ vaut $4$.
Le problème de l'autoroute revisité avec les concepts de la théorie de la viabilité
Depuis
des liens sont établis entre les problèmes de contrôle optimal et les noyaux de viabilité ou bassins de capture.
Associer à chaque point de l'environnement $K$ la valeur du temps minimal nécessaire pour atteindre la cible $C$ revient à calculer le bassin de capture dans la terminologie de la théorie de la viabilité pour le système initial augmenté d'une dimension, celle du coût associé au temps qui s'écoule. En effet, ce bassin de capture correspond à l'épigraphe de la fonction de temps minimal (i.e. l'ensemble des points situés au-dessus de sa courbe représentative) :
$$
t_{min}(K,C)(x_0,y_0) = \inf_{(x_0,y_0,z)\in Capt(K,C)}z
$$
De plus, l'ensemble des trajectoires issues de $(x_0,y_0)$ réalisant ce temps minimal d'atteinte de cible correspond à l'ensemble des trajectoires issues de $(x_0,y_0)$ contenues dans $Capt(K,C)$.
Temps continu
Continues en espace de dimension 2
$\left\{
\begin{array}{lll}
x'(t) &= u(t) &\\
y'(t) &= x &\text{si} x\leq 1\\
&= 2-x &\text{si} x\geq 1\\
\end{array}
\right.$
Fonction de coût :
$c'(t)=-1$
$u(t)\in [-1;1] $
$K\subset \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}$
$C\subset K\times [0;+\infty[$
Résultats
Le calcul du bassin de capture permet d'obtenir la valeur du temps minimal pour atteindre la cible pour tous les points de l'ensemble $K$.
En choisissant $K = ?$ et $C = ?$, nous reproduisons l'approximation de la fonction temps minimal calculée par le logiciel ViabLab sur une grille de ??? points.