Intermédiaire

Dans le cas où f $\phi$ est un polynôme, l'ensemble de Julia rempli est le complémentaire du bassin d'attraction du point à l'infini; autrement dit, ce sont les points dont l'orbite est bornée. 

Étant donnés un nombres complexes, $u:=a+ib$, soit la fonction complexe $\phi(z)=z^2+c$ ou de manière équivalente, la fonction $\phi(x,y):=(x^2-y^2+a,2xy+b)$ avec $z=x+iy$, on considère la suite $(z_n)$ définie par la relation de récurrence : $z_{n+1}=\phi(z_n,u)$ avec $\phi(z)=z^2+c$,

Pour une valeur donnée de $u$, l'ensemble de Julia correspondant est la frontière de l'ensemble des valeurs initiales $z_0$ pour lesquelles la suite est bornée. 

D'après

Aubin, J.-P., Bayen, A., & Saint-Pierre, P. Viability Theory: New Directions. Springer. 2011.

Le sous-ensemble $K_u:=Viab_{\phi}(B(0,1))$ est le sous-ensemble de Julia rempli pour la function $\phi$ et sa frontière $J_u:=\partial K_u$ est l'ensemble de Julia.

L'Algorithme de Viabilité permet donc de calculer une approximation de ces ensembles de Julia.

Voici le noyau de viabilité approché obtenu en utilisant le logiciel VIABLAB : 

Pour calculer ce noyau de viabilité avec VIABLAB, utilisez les deux fichiers ci-dessous en suivant cette procédure :

Introduction 

The accumulation of nutrients (such as phosphorus or nitrogen) in the water of a lake can lead to a change of state that results in the proliferation of algae, the degradation of water quality and biodiversity, and possibly bacterial blooms: this is eutrophication. The problem of the lake and its riparian holdings is to determine whether it is possible to reconcile the practice of an activity which provides nutrients and the conservation of the lake in a desirable state (oligotrophic, as opposed to eutrophic).

This problem is described in detail in:

S. Martin. The cost of restoration as a way of defining resilience: a viability approach applied to a model of lake eutrophication. Ecol. Soc.   http://www.ecologyandsociety.org/vol9/iss2/art8

Nutrients inputs $L$ must be above a minimal threshold $L_{min}$, to take into account the needs of the holdings' activities; And the concentration of total Phosphorus $P$ must remain  below a threshold  $P_{max}$, to keep the lake in an oligotrophic state. These desirable states form the constraints set $K=[L_{min}, +\infty[ \times [0,P_{max}]$.

The evolution of the concentration of total phosphorus in the lake is modeled by a pseudo-sygmoid:

$$\frac {dP} {dt}=-bP(t)+L(t)+r\frac {P(t)^{q}} {m^{q} + P(t)^{q}} \qquad$$

It is assumed that the evolution of phosphorus inputs can be controlled (by decontamination units, the establishment of wetlands, changes in agricultural or industrial practices, etc.), and we model these controls by a single quantity $u\in U=[u_min,u_max]$. The dynamics of the inputs are modeled by:

$$\frac {dL} {dt}=u \in [- u_{min}, u_{max}] \qquad$$

The viabillity problem is then defined by:

\begin{equation} \label{eq:systemlac}
(P)\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dL}{dt}=u\in U=\left[ u_{min},u_{max}\right] \\
\frac{dP}{dt}=-b P(t) + L(t) +r\frac{P(t)^{q}}{m^{q} + P(t)^{q}} \\
\left(L(t),P(t)\right) \in K=[L_{min}, +\infty[ \times [0,P_{max}]
\end{array}
\right.
\end{equation}
 

Exemple 1

The viabillity kernel can be obtained by calculating an integral curve (see page 22 in https://arxiv.org/pdf/2107.02684 ). Next figure shows the result for the following parameters:  $b=1,95$ an$^{-1}$ ; $q=1,9$ ; $m=19,44\  \mu gl^{-1}$; $r=72,22\  \mu gl^{-1}$ an$^{-1}$; $L_{min}=1,25\  \mu gl^{-1}$ ; $P_{max}=17,39\  \mu gl^{-1}$ ;   $|u_{min}|=u_{max}=3,15$.

In light blue the viabillity kernel. The dotted marine line shows the equilibrium curve of the system.

An approximation can be calculated directly with viability kernel calculation software such as ViabLab.

File .json (to be placed in the following repertory: VIABLAB/INPUT): Lac_params.json

File .h (to be placed in the following repertory: VIABLAB/source/data : data_Lac.h

These files correspond to the parameters: $b=0.8$ year$^{-1}$ ; $q=8$ ; $m=1\  \mu gl^{-1}$; $r=1\  \mu gl^{-1}$ year$^{-1}$; $L_{min}=0.1\  \mu gl^{-1}$ ; $P_{max}=1.4\  \mu gl^{-1}$ ;   $|u_{min}|=u_{max}=0.09$.

Le contrôle est discrétisé sur 3 valeurs étant donné les spécificités du problème.

La discrétisation est faite sur 5000 points / axe. L'approximation calculée par ViabLab est montrée sur la figure suivante. En rouge les seuils des contraintes. On voit que l'approximation du noyau est bien faite par l'extérieur.

This system describes a farm and a restaurant belonging to a same project. Consequently, they function in full cooperation.

Description of the system : 

de Lapparent, A., Martin, S. & Sabatier, R. Using System Modularity to Simplify Viability Studies: An Application to a Farm-Restaurant Interaction. Environ Model Assess (2024). https://doi.org/10.1007/s10666-024-10014-w

The object computed is a viability kernel. The model is discrete in states, controls and time.

The computation takes a moment (4088s on my computer), be patient...

Model

States and controls

State variables

upper limit of $x_1$ can be relaxed.

Control variables

Dynamics

Overall dynamics are:

\begin{equation}
   \mathcal{S}_U
   \begin{cases}
   x_{1}^{t+1} = x_{1}^t + G(x_{2}^t,u_{3}^t,R(x_3^t,u_1^t,u_2^t)) - E(u_{1}^t,u_{2}^t)\\
   x_{2}^{t+1} = \alpha(x_{2}^t,u_{3}^t,R(x_3^t,u_1^t,u_2^t))\\
   x_{3}^{t+1} = \Phi (x_{3}^t ,u_{1}^t,u_{2}^t) \\
   \end{cases}
\end{equation}

with the following functions:

Some dynamics require to use grid parameters. Consequently, a function has been implemented into the source file to get these values.

Constraints

There are two cconstraints in this system: the global system has to be profitable and a minimal soil quality has to be preserved in order to address sustainability concerns. These constraints take the form of thresholds on the cumulative cash flow ($x_{1} \geq x_{1min}$) and on soil quality ($x_3 \geq x_{3min}$), respectively. In other words, $(x_1^t,x_2^t,x_3^t)$ must remain in $K$ for all $t\in \mathbb{N}$ with : 
\begin{equation}
K:=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^+\times [0;1]^2 \; |\; x_1\geq x_{1min} \text{ and }x_3\geq x_{3min}\}.
\label{K}
\end{equation}

Implementation parameters

Time horizon

The time horizon (for trajectory computations) is 20 years.

Algorithm parameters

Default parameters are used.

System parameters

We used the parameters for a low-hypotheses computation.

   "SYSTEM_PARAMETERS": {
       "DYNAMICS_TYPE": 2,
       "DYN_BOUND": 1,
       "DYN_BOUND_COMPUTE_METHOD": 2,
       "IS_TIMESTEP_GLOBAL": 0,
       "LIPSCHITZ_CONSTANT": 1,
       "LIPSCHITZ_CONSTANT_COMPUTE_METHOD": 2,
       "TIME_DISCRETIZATION_SCHEME": 4
   }

Viability kernel computed using ViabLab

Ce modèle représente l’effet du pâturage de troupeaux plurispécifiques sur la ressource alimentaire ainsi que ces effets sur le revenu et la capacité d’autosubsistance des éleveurs. Du fait de la nature très extensive des troupeaux considérés, seul un contrôle correspondant à l’abattage des animaux permet de réguler le troupeau (pas de gestion de la reproduction ni d’affouragement).

Ces systèmes pastoraux ont la particularité d’être soumis à des aléas bioclimatiques extrêmes nommés Dzuds qui seront au centre de la démarche de modélisation que nous entreprendrons.

Les Dzuds correspondent à des épisodes de mortalité massive et soudaine dans les troupeaux intervenant généralement en fin d’hiver lorsque le chargement est trop important par rapport à la ressource fourragère et que les conditions climatiques sont particulièrement rudes. Ce phénomène binaire dépend donc à la fois des pratiques des éleveurs et des conditions climatiques puisque c’est bien la combinaison des deux facteurs qui entraine son déclenchement.
Le modèle que nous avons développé lie la dynamique de troupeaux de 5 espèces d’herbivores (bovins, ovins, caprins, équins et chameaux) à la dynamique de la ressource fourragère et pose le Dzud comme mécanisme central dans la dynamique du système.

Sur le plan méthodologique, ce cas d'application à permis d'évaluer sur un même cas d’étude les trois propriétés de robustesse, adaptabilité et résilience.

Sur le plan appliqué, le travail que nous avons mené sur le temps long sur ce cas d’étude nous a permis de comprendre finement la dynamique du système. Nous avons ainsi pu distinguer deux régimes de fonctionnement viables du système : des troupeaux à petits effectifs permettant d’éviter le déclenchement des Dzuds en préservant la ressource ou des troupeaux à très grands effectifs permettant d’encaisser les Dzuds lorsque ceux-ci se produisent.

Le modèle détaillé peut être retrouvé dans l'article suivant:
Rodolphe Sabatier, Frédéric Joly, Bernard Hubert. Assessing both ecological and engineering resilience of a steppe agroecosystem using the viability theory. Agricultural Systems, Elsevier Masson, 2017, 157, pp.146-156. ⟨10.1016/j.agsy.2017.07.009⟩. ⟨hal-02627849⟩