Introduction
Les maladies à transmission vectorielle sont causées par divers types d'agents pathogènes, notamment des virus et des bactéries, transmis par des vecteurs tels que les moustiques, les tiques, entre autres. Selon l'Organisation mondiale de la Santé, ces maladies entraînent plus de 700 000 décès chaque année.
Ross a été le premier à tenter de modéliser ce phénomène pour proposer des stratégies de lutte contre les épidémies de moaldies à transmission vectorielle. Le modèle qui porte son nom a été publié en 1911
Ross, R. (1911). Some Quantitative Studies in Epidemiology. 87, 466 - 467.
et sera à l'origine de nombreux autres modèles. Ross a envisagé un modèle simple du paludisme comportant humains et moustiques qui ne peuvent appartenir qu'à deux catégories : infectés et non infectés. Les naissances, compensent les décès, les nombres d'humains et de moustiques sont constants.
Dans les modèles inspirés par Ross, ceux, connus sous le nom de Ross-MacDonald, prennent comme variables les proportions d'infectés par rapport à la population totale pour s'affranchir de l'hypothèse des populations constantes, par exemple la proportion d'humains infectés, $h$ et la proportion de moustiques infectés, $m$.
Les populations d'hôtes et de vecteurs sont en mélange homogène. Chaque population est subdivisée en classes épidémiologiques, dans le cas le plus simple, deux classes, les individus sains (susceptibles) et infectieux (infectés). Les vecteurs, par exemple les moustiques, piquent à un taux $\alpha$ (nombre quotidien de piqûres par moustique sur humain, par exemple). Si $p_h$ désigne la probabilité de transmission de l'infection aux hôtes par piqûre, et $p_m$ la probabilité d'infection du moustique lors d'une piqûre sur un hôte infectieux, alors le taux d'infection des hôtes sains est donné par $\alpha p_h \xi m(1-h)$, tandis que le taux d'infection des vecteurs sains est donné par $\alpha p_m h (1-m)$. Ces formes fonctionnelles des taux d'infection sont caractéristiques de tous les modèles de type Ross-Macdonald.
Les équations qui régissent l'évolution des proportions d'infectés dans les deux populations sont ainsi :
$$
\begin{array}{ll}
\frac{dm}{dt} &= \alpha p_m h (1-m) − \delta m \\
\frac{dh}{dt} &= \alpha p_h \xi m(1-h) −\gamma h
\end{array}
$$
avec $\gamma$, le taux de guérison chez l'humain et $\delta$, le taux de mortalité (naturelle) des moustiques.
Le contrôle viable d'un modèle d'épidémiologie
Dans l'article
Michel de Lara, Lilian Sofia Sepulveda Salcedo. Viable Control of an Epidemiological Model. Mathematical Biosciences, 2016, 280, pp.24-37. ⟨10.1016/j.mbs.2016.07.010⟩. ⟨hal-01208484v2⟩
les auteurs proposent de s'intéresser aux stratégies qui visent à limiter le nombre d'humains infectés au moment du pic de l'épidémie.
Dynamiques et contraintes
Les auteurs considèrent une version contrôlée du modèle épidémiologique dynamique de Ross-Macdonald : la mortalité des vecteurs représente la variable de commande.
En effet des actions de fumigation par exemple peuvent conduire à un taux de mortalité des moustiques bien plus élevé que le taux naturel $\delta$. Ainsi, sont définies les fonctions $u(.)$ qui contrôlent la population de moustiques en affectant leur mortalité en plus de leur mortalité naturelle. Ainsi, $u(t)\in [\delta;\bar{u}]$ pour tout $t$ avec $\bar{u}$ représentant l'efficacité maximale de ces méthodes de destruction des moustiques.
La variable $\bar{H}\in [0;1]$ représente le taux maximal d'infectés tolérable dans la population humaine. Ainsi, éviter qu'au pic de l'épidémie, la proportion d'humains infectés soit supérieur à $\bar{H}$, c'est trouver des politiques de santé publique qui conduisent à ce que la proportion $h(t)$ d'humains infectés reste toujours inférieure au seuil maximal d'infection $\bar{H}$, c'est à dire qui respecte la contrainte (dans la terminologie de la théorie de la viabilité) :
$$
h(t)\leq \bar{H},\, \forall t\geq 0.
$$
La dynamique du système est ainsi décrite par :
$$
\left\{\begin{array}{ll}
\frac{dm}{dt} &= \alpha p_m h (1-m) − u m \\
\frac{dh}{dt} &= \alpha p_h \xi m(1-h) −\gamma h\\
u&\in [\delta;\bar{u}]
\end{array}\right.
$$
Et l'ensemble des contraintes s'écrit :
$$
K(\bar{H}):=[0,1]\times [0;\bar{H}].
$$
Les proportions de moustiques infectés et d'humains infectés influencent sans doute la capacité à éviter la survenue d'un pic d'humains infectés supérieur à $\bar{H}$.
Résoudre le problème de la possibilité de préserver la population humaine d'un pic d'infectés trop élevé, c'est trouver l'ensemble des états $(m,h)$ à partir desquels il est possible de mettre en place des stratégies de contrôle de la population de moustiques qui contiennent la proportion d'infectés en dessous de ce seuil, c'est à dire le noyau de viabilité dans la terminologie de la théorie de la viabilité.
| Dynamiques | Contrôles | Incertitudes | Contraintes | Cible | Concept de Viabilité |
|
Temps continu Continues en espace de dimension 2 \begin{equation} $(m,h)\in [0;1]^2$ Paramètres : $\alpha, \xi, \gamma, p_m$, $p_h$ |
$u\in \left[ \delta,\bar{u}\right]$ Paramètres : $\delta$, $\bar{u}$ |
Aucune |
$
Paramètres : $\bar{H}$ |
Aucune | Noyau de viabilité |
Résultats
Théoriques
Pour des valeurs de paramètres $\alpha, \xi, \gamma, p_m$, $p_h$ et $\delta$ fixées, les valeurs des couples intensité maximale du pic, $\bar{H}$ et efficacité maximale de la fumigation $\bar{u}$ peuvent conduire à trois types de cas :
- le cas très favorable, le pic peut toujours être restreint à la valeur tolérable dès que celle-ci n'a pas été franchie, le noyau de viabilité est égale à l'ensemble de contraintes. Posons $A_h =\alpha p_h \xi $ et $A_m =\alpha p_m $, ceci se produit lorsque :
$$
\bar{H}\geq \frac{A_h}{A_h +\gamma}.
$$ - le cas désespéré, dès lors qu'une infection survient, le pic d'humains infectés sera nécessairement supérieur à $\bar{H}$ même en opérant des fumigations d'efficacité maximale, le noyau de viabilité est réduit à l'origine. Ceci se produit lorsque
$$
A-m(A-h + \gamma)\bar{H} + \gamma\bar{u} < A_mA_h.
$$ - dans le dernier cas, le noyau est ni vide ni plein, la possibilité d'éviter un pic trop élevé dépendra de la situation initiale.
Le noyau de viabilité peut être obtenu par le calcul d'une courbe intégrale.
En effet, sa frontière est définie par une courbe fermée formée de sous-ensembles de la frontière de l'ensemble de contraintes $K$ et d'une courbe intégrale issue du point $(\bar{M},\bar{H})$ avec $\frac{dh}{dt}(\bar{M},\bar{H}) =0$ qui suit la dynamique inverse :
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dm}{dt} &= -(\alpha p_m h (1-m) − u m) \\
\frac{dh}{dt} &= -(\alpha p_h \xi m(1-h) −\gamma h)\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
Numériques
Les auteurs ont estimé les valeurs des paramètres de la dynamique dans la cas de l'épidémie de dengue de 2013 à Cali e, Colombie : $\alpha =0.3600\;day^{-1}$, $p_m=0.2128$, $p_h = 0.1990$, $\xi= 1.0087 $ et $\delta = 0.0333 \;day^{-1}$, $\gamma =0.1 \;day^{-1}$.
Noyaux de viabilité
En prenant ces valeurs de paramètres, nous ne parvenons pas à reproduire les résultats numériques obtenus par les auteurs de l'article, sans doute une mauvaise interprétation de notre part à un moment donné.
$\bar{u} = 0.05$ $\bar{H} = 0.2$
La solution au problème de viabilité (3)-(4)-(8)-(10) dépend, en fin de compte, des conditions initiales relatives aux proportions de moustiques infectés et d'humains infectés.
La solution numérique H de l'équation différentielle (21a)–(21b) a la
propriété de prendre la valeur 0. Nous sommes dans le cas (21c) et nous obtenons
M∞ = 27 % et H(M∞) = 0. (26)
Ici, le seuil d'infection H = 1 % est si bas que les états initiaux présentant une forte proportion m
de moustiques infectés — à savoir supérieure à M∞ — ne sont pas viables. Les
valeurs M = 14 % et M∞ = 27 %, ainsi que la figure 2, ont des
implications pratiques pour une lutte viable contre la dengue. L'analyse du §3.3
suggère que, pour plafonner la proportion d'humains infectés au moment du pic, il
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faut mesurer la proportion de moustiques infectés. Mesurer l'abondance des moustiques
est une tâche difficile, alors que la mesure de la proportion de moustiques infectés
peut être effectuée grâce à un échantillonnage approprié. Voici une conception possible
pour une politique viable.
• Surveillance sans fumigation. Lorsque la proportion d'humains infectés
est inférieure au seuil d'infection H = 1 % et que la proportion de
moustiques infectés est inférieure à la proportion M = 14 %, ne pas procéder à une fumigation.
• Surveillance avec fumigation (maximale). Lorsque la proportion de
moustiques infectés se situe entre les proportions M = 14 % et M∞ =
27 %, procéder à une fumigation à capacité maximale.
• Alerte. Lorsque la proportion de moustiques infectés dépasse M∞ = 27 %,
des mesures supplémentaires doivent être prises pour éviter un pic élevé
d'humains infectés.
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