Modèle proie-prédateur

Introduction

Considérons le modèle classique proies-prédateurs de Lotka-Volterra à deux variables $x(t)$ l'effectif des proies en fonction du temps et $y(t)$ l'effectif des prédateurs au cours du temps.
Les variations des populations au cours du temps dépendent : 

• du taux de reproduction $\alpha$ des proies
• du taux de mortalité des proies dû aux prédateurs, $\beta$
• du taux de production des prédateurs en fonction des proies mangées, $\delta$,
• du taux de mortalité des prédateurs, $\gamma$.

Lotka et Volterra ont proposé simultanément les équations suivantes : 

$$\left\{\begin{array}{l}x'=x(\alpha-\beta y)\\ y'=y(\delta x-\gamma)\end{array}\right.$$
 

Modélisation d'un problème de viabilité pour les proies

Dans leur article 

Térence Bayen, Alain Rapaport. Minimal time crisis versus minimum time to reach a viability kernel : a case study in the prey-predator model. Optimal Control Applications and Methods, 2019, 40 (2), pp.330-350. ⟨10.1002/oca.2484⟩. ⟨hal-01943636v2⟩

les auteurs se sont intéressés au problème de la préservation des proies face aux prédateurs, en maintenant autant que possible leur effectif au-dessus d'un seuil donné $\underline{x} > 0$, ce qui revient à faire en sorte que l'état appartienne à l'ensemble

$$K(\underline{x}):=\{(x,y)\,|\, x>=\underline{x}\},$$

considérant qu'une faible densité de proies les expose à un risque de disparition qu'il convient d'éviter autant que possible.

Reprenant les équations originelles de Lotka-Volterra, les auteurs considérent des valeurs constantes pour $\alpha=r $, $\beta=1$ et $\delta=1$.

Un contrôle peut toutefois agir sur la mortalité des prédateurs, ainsi, les auteurs posent $\gamma= m +u$ avec $m$ une constante et $u$ une surmortalité dont la valeur peut varier, $u(t) \in [0;\bar{u}]$.

Le problème de viabilité se résume ainsi : 

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=x(r- y)\\ 
y'=y( x-m-u)\\
u(t) \in [0;\bar{u}]\\
\left(x(t),y(t)\right) \in K(\underline{x}):=\{(x,y)\,|\, x>=\underline{x}\}
\end{array}
\right.
\end{equation}

Résoudre ce problème, c'est trouver l'ensemble des états $(x,y)$ à partir desquels il est possible de conserver au cours du temps un effectif de proie supérieur à $\underline{x}$ en agissant sur la surmortalité des proies, c'est à dire le noyau de viabilité dans la terminologie de la théorie de la viabilité.

Résultats

Les auteurs fournissent une description analytique de ce noyau de viabilité. 

Lorsque $\bar{u}\geq \underline{x}-m$, en considérant l'invariant de ce système Lotka-Volterra (qui dépend de $u$) $W_u(x,y):=x-(m+u)\ln x+y -r\ln y$, ils construisent la frontière du noyau de viabilité à l'aide d'une courbe fermée suivante composée de 3 sous-ensembles : 

• $\{(x,y) | y\geq r \text{ and }W_{\bar{u}}(x,y)=W_{\bar{u}}(\underline{x}, r) \}$. 
• Let $x^+>\underline{x}$ such that $W_{\bar{u}}(x^+,r)=W_{\bar{u}}(\underline{x}, r)$, 
   $\{(x,y) | y\leq r \text{ and }W_{0}(x,y)=W_{0}(x^+, r) \}$
• Let $r^-$ such that $W_{0}(\underline{x},r^-)=W_{0}(x^+, r)$, 
  $\{(x,y) | x=\underline{x} \text{ and } y\in [r^-,r]\}$
   

La figure suivante montre le résultat pour les paramètres suivants : $r=1$, $m=1$,  $\bar{u}=0.5$, $\underline{x}=0.8$.

Ce problème de viabilité, par l'existence de la description analytique de sa frontière permet de tester la finesse d'approximations issues de logiciels génériques.

Ci-dessous la comparaison pour $r=1$, $m=1$,  $\bar{u}=0.5$, $\underline{x}=0.8$ entre la frontière du noyau de viabilité issue de sa description analytique (en rouge) et le résultat approché obtenu avec le logiciel ViabLab sur une grille régulière de 4001*4001points (ensemble bleu clair avec la frontière bleu foncé) :

 On remarque que conformément à la description de l'algorithme de viabilité de Patrick Saint-Pierre, l'approximation du noyau est bien faite par l'extérieur.