Ecologie

Introduction

Considérons le modèle classique proies-prédateurs de Lotka-Volterra à deux variables $x(t)$ l'effectif des proies en fonction du temps et $y(t)$ l'effectif des prédateurs au cours du temps.
Les variations des populations au cours du temps dépendent : 

• du taux de reproduction $\alpha$ des proies
• du taux de mortalité des proies dû aux prédateurs, $\beta$
• du taux de production des prédateurs en fonction des proies mangées, $\delta$,
• du taux de mortalité des prédateurs, $\gamma$.

Lotka et Volterra ont proposé simultanément les équations suivantes : 

$$\left\{\begin{array}{l}x'=x(\alpha-\beta y)\\ y'=y(\delta x-\gamma)\end{array}\right.$$
 

Modélisation d'un problème de viabilité pour les proies

Dans leur article 

Térence Bayen, Alain Rapaport. Minimal time crisis versus minimum time to reach a viability kernel : a case study in the prey-predator model. Optimal Control Applications and Methods, 2019, 40 (2), pp.330-350. ⟨10.1002/oca.2484⟩. ⟨hal-01943636v2⟩

les auteurs se sont intéressés au problème de la préservation des proies face aux prédateurs, en maintenant autant que possible leur effectif au-dessus d'un seuil donné $\underline{x} > 0$, ce qui revient à faire en sorte que l'état appartienne à l'ensemble

$$K(\underline{x}):=\{(x,y)\,|\, x>=\underline{x}\},$$

considérant qu'une faible densité de proies les expose à un risque de disparition qu'il convient d'éviter autant que possible.

Reprenant les équations originelles de Lotka-Volterra, les auteurs considérent des valeurs constantes pour $\alpha=r $, $\beta=1$ et $\delta=1$.

Un contrôle peut toutefois agir sur la mortalité des prédateurs, ainsi, les auteurs posent $\gamma= m +u$ avec $m$ une constante et $u$ une surmortalité dont la valeur peut varier, $u(t) \in [0;\bar{u}]$.

Le problème de viabilité se résume ainsi : 

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=x(r- y)\\ 
y'=y( x-m-u)\\
u(t) \in [0;\bar{u}]\\
\left(x(t),y(t)\right) \in K(\underline{x}):=\{(x,y)\,|\, x>=\underline{x}\}
\end{array}
\right.
\end{equation}

Résoudre ce problème, c'est trouver l'ensemble des états $(x,y)$ à partir desquels il est possible de conserver au cours du temps un effectif de proie supérieur à $\underline{x}$ en agissant sur la surmortalité des proies, c'est à dire le noyau de viabilité dans la terminologie de la théorie de la viabilité.

Résultats

Les auteurs fournissent une description analytique de ce noyau de viabilité. 

Lorsque $\bar{u}\geq \underline{x}-m$, en considérant l'invariant de ce système Lotka-Volterra (qui dépend de $u$) $W_u(x,y):=x-(m+u)\ln x+y -r\ln y$, ils construisent la frontière du noyau de viabilité à l'aide d'une courbe fermée suivante composée de 3 sous-ensembles : 

• $\{(x,y) | y\geq r \text{ and }W_{\bar{u}}(x,y)=W_{\bar{u}}(\underline{x}, r) \}$. 
• Let $x^+>\underline{x}$ such that $W_{\bar{u}}(x^+,r)=W_{\bar{u}}(\underline{x}, r)$, 
   $\{(x,y) | y\leq r \text{ and }W_{0}(x,y)=W_{0}(x^+, r) \}$
• Let $r^-$ such that $W_{0}(\underline{x},r^-)=W_{0}(x^+, r)$, 
  $\{(x,y) | x=\underline{x} \text{ and } y\in [r^-,r]\}$
   

La figure suivante montre le résultat pour les paramètres suivants : $r=1$, $m=1$,  $\bar{u}=0.5$, $\underline{x}=0.8$.

Ce problème de viabilité, par l'existence de la description analytique de sa frontière permet de tester la finesse d'approximations issues de logiciels génériques.

Ci-dessous la comparaison pour $r=1$, $m=1$,  $\bar{u}=0.5$, $\underline{x}=0.8$ entre la frontière du noyau de viabilité issue de sa description analytique (en rouge) et le résultat approché obtenu avec le logiciel ViabLab sur une grille régulière de 4001*4001points (ensemble bleu clair avec la frontière bleu foncé) :

 On remarque que conformément à la description de l'algorithme de viabilité de Patrick Saint-Pierre, l'approximation du noyau est bien faite par l'extérieur.

L’herbe est une ressource renouvelable dont le taux de croissance dépend de la période de l’année mais aussi de sa hauteur et des condition météorologiques. Une gestion fine du pâturage demande donc de fixer de manière dynamique, le niveau de chargement (nombre d’animaux par hectare) pour nourrir les animaux tout en évitant les phénomènes de surpâturage. Du fait de l’incertitude sur la croissance de l’herbe liée aux conditions météorologiques, l’enjeu est de mettre en œuvre des séquences de pâturage qui soient non seulement productives mais aussi robustes et adaptables.

Ce problème est décrit en détails dans : 

Sabatier R, Oates, LG, Jackson RD, 2015, Management flexibility of a grassland agroecosystem: A modeling approach based on viability theory, Agricultural Systems http://dx.doi.org/10.1016/j.agsy.2015.06.008

Le système se caractérise par :

• deux états X(t) la biomasse de la ressource en herbe et P(t) le niveau de production cumulée. 

• un contrôle U(t), le chargement

• une incertitude ω ∈ Ω sur le taux de croissance de l’herbe

Du fait du pas de temps journalier de la gestion du chargement, le modèle est discrétisé en temps. De plus, les vaches étant retirées des parcelles pendant plusieurs mois d’affilée en hiver, on se focalise sur une seule saison de pâturage, ce qui implique un horizon temporel finit, t ∈ [90, 300].

La dynamique est la suivante :

Avec r(t, ω) le taux de croissance de l’herbe, K(t) un coefficient de saturation, X_min, la biomasse d’herbe correspondant à la hauteur minimale de pâturage (les vaches sont incapables de prélever de l’herbe d’une hauteur inférieure à un certain seuil), q la quantité de biomasse prélevée par vache et par jour. 

Deux contraintes sont définies :

• Une contrainte visant à éviter le surpâturage : qU(t) ≤ X(t)−X_min

• Une contrainte visant à assurer un niveau minimal de production sur la saison P(T) ≥ P_min

Valeurs des paramètres du modèle :

• Le coefficient de saturation $K$ et le coefficient de croissance $r$ dépendent du temps et prennent les valeurs successives des vecteurs correspondants aux instants t = 90, 105, 140, 200, 251, 280 et 320 ; 

• $q$ représente la consommation quotidienne d'aliments par les bovins, $q$ = 14,3$ ;

• et $w$ est un coefficient multiplicateur qui tient compte des variations météorologiques quotidiennes.

  
   

But du projet

Trouver pour chaque individu son ensemble d'engagements préservant la viabilité de chacun. Un ensemble d'engagements individuel corresponds à l'ensemble des contrôles (actions min à max, supposées continues) que l'individu peut exercer.

Code

Le code est disponible sur la forge INRAE. Les supports de présentation de viabic sont disponibles sur HAL.

La résolution du problème (ie trouver les bornes des ensembles d'engagements individuels) s'appuie sur une optimisation par essaim particulaire (PSO - Particle Swarm Optimization).

Résumé

Ce travail propose d’explorer comment les concepts de durabilité, de résilience et de changement de régime peuvent être mobilisés dans le cadre de la modélisation et simulation participative (approche ComMod). 

En s’appuyant sur la méthode développée par Mathias et al. (2024) pour identifier les différents régimes d’un modèle stochastique, nous avon adapté ces outils à un modèle multi-agents représentant la pêcherie du lac de Guiers au Sénégal. L’objectif est d’évaluer, comment un système socio-écologique soumis à des incertitudes peut passer d’un état « satisfaisant et durable » à un état « satisfaisant et non-durable » ou « non satisfaisant durable », ou inversement (c.f. fig. 1), selon les conditions définies collectivement avec les parties prenantes.

Au-delà de la mise en œuvre technique, cette étude initie une réflexion sur les enjeux de l'exploration des régimes dans un cadre participatif, où les résultats de la modélisation peuvent déboucher sur des recommandations difficiles — comme une suspension temporaire de la pêche pour préserver la ressource. Elle souligne à la fois le potentiel de ces approches pour structurer le dialogue entre chercheurs et acteurs de terrain, et leurs limites pratiques liées à la complexité des modèles et à la nature stochastique des systèmes étudiés. Ce travail constitue ainsi une première étape vers une intégration concrète des notions de durabilité et de résilience dans les processus de décision collective autour de la gestion durable des pêcheries continentales

Les idées originelles

L’article « From tipping point to tipping set: Extending the concept of regime shift to uncertain dynamics for real-world applications » (Mathias, Deffuant & Brias, Ecological Modelling, 2024) propose une refondation du concept de changement de régime dans les systèmes socio-écologiques. Les auteurs soulignent que la définition classique, basée sur des transitions entre bassins d’attraction dans des systèmes déterministes, devient inadaptée lorsque les dynamiques sont soumises à des perturbations aléatoires. Pour pallier cela, ils introduisent la notion d’ensemble de bascule (tipping set), qui remplace le point de bascule unique. Leur approche s’appuie sur la définition d’un ensemble de satisfaction, correspondant aux états jugés « souhaitables » selon des critères écologiques, économiques ou sociaux, et sur deux indicateurs statistiques : le temps moyen de séjour dans cet ensemble et le temps médian de sortie. Ces mesures permettent de distinguer différents régimes — satisfaction durable, satisfaisant non durable, insatisfaisant durable, insatisfaisant non durable, et résiliente — et de caractériser la stabilité du système en prenant en compte les incertitudes.

Le contexte de l'intervention

Le travail s’inscrit dans le cadre du Living Lab de Mbane initier dans le cadre du projet Santés & Territoires, autour du lac de Guiers au Sénégal, où la pêche constitue à la fois une ressource alimentaire essentielle et un pilier économique pour les communautés locales. Face à la surexploitation des ressources halieutiques et aux pressions environnementales, Nous avons mis en place une démarche de modélisation d’accompagnement (ComMod) visant à co-construire avec les pêcheurs une compréhension partagée du système de pêche pour identifier les marges de manoeuvre d'addapations. Cette approche participative, a permis de co-construire un modèles a base d'agent (avec NetLogo) avec les pêcheurs du lac, qui permet de relier les savoirs locaux aux outils scientifiques. L’objectif est d’aider les acteurs locaux à anticiper les impacts de leurs pratiques et à formuler collectivement des règles de gestion plus robustes et adaptées à leur contexte socio-écologique.

Les résultats

Les résultats de ce travail montrent d’abord la faisabilité technique de l’implémentation des calculs de régimes dans des modèles stochastiques, en s’appuyant sur les travaux de Mathias et al. (2024). Après avoir vérifié la validité de leur approche sur un modèle théorique d’exploitation de ressources naturelles, les auteurs l’appliquent à un modèle multi-agents représentant la pêcherie du lac de Guiers au Sénégal. Les simulations permettent d’identifier différents types de régimes selon des critères de satisfaction définis collectivement : la durabilité économique des pêcheurs (mesurée par leur capital) et la durabilité écologique (liée à la biomasse du lac). Ces exploration révèlent que, dans les conditions simulées, les situations véritablement « satisfaisantes et durables » sont rares : le système tend globalement vers des états non durables, suggérant une vulnérabilité structurelle de la pêcherie face à la pression d’exploitation.

Malgré la portée largement qualitative et exploratoire de ces résultats, le modèle n’étant pas encore calibré sur des données réelles. l'intérêt réside surtout dans la démonstration du potentiel de ces outils pour accompagner les acteurs dans la compréhension des dynamiques complexes de la pêche et dans la formulation de décisions collectives. En particulier, l’identification d’ensembles de bascule — zones d’incertitude entre régimes durables et non durables — offre un support de discussion sur les limites et les risques liés à certaines pratiques. Nous soulignons enfin que ces approches nécessitent un dialogue étroit avec les parties prenantes, car elles peuvent aboutir à des recommandations difficiles, comme la fermeture temporaire de la pêche, tout en constituant une base solide pour articuler modélisation scientifique, participation locale et gestion durable des ressources.

Ce modèle représente l’effet du pâturage de troupeaux plurispécifiques sur la ressource alimentaire ainsi que ces effets sur le revenu et la capacité d’autosubsistance des éleveurs. Du fait de la nature très extensive des troupeaux considérés, seul un contrôle correspondant à l’abattage des animaux permet de réguler le troupeau (pas de gestion de la reproduction ni d’affouragement).

Ces systèmes pastoraux ont la particularité d’être soumis à des aléas bioclimatiques extrêmes nommés Dzuds qui seront au centre de la démarche de modélisation que nous entreprendrons.

Les Dzuds correspondent à des épisodes de mortalité massive et soudaine dans les troupeaux intervenant généralement en fin d’hiver lorsque le chargement est trop important par rapport à la ressource fourragère et que les conditions climatiques sont particulièrement rudes. Ce phénomène binaire dépend donc à la fois des pratiques des éleveurs et des conditions climatiques puisque c’est bien la combinaison des deux facteurs qui entraine son déclenchement.
Le modèle que nous avons développé lie la dynamique de troupeaux de 5 espèces d’herbivores (bovins, ovins, caprins, équins et chameaux) à la dynamique de la ressource fourragère et pose le Dzud comme mécanisme central dans la dynamique du système.

Sur le plan méthodologique, ce cas d'application à permis d'évaluer sur un même cas d’étude les trois propriétés de robustesse, adaptabilité et résilience.

Sur le plan appliqué, le travail que nous avons mené sur le temps long sur ce cas d’étude nous a permis de comprendre finement la dynamique du système. Nous avons ainsi pu distinguer deux régimes de fonctionnement viables du système : des troupeaux à petits effectifs permettant d’éviter le déclenchement des Dzuds en préservant la ressource ou des troupeaux à très grands effectifs permettant d’encaisser les Dzuds lorsque ceux-ci se produisent.

Le modèle détaillé peut être retrouvé dans l'article suivant:
Rodolphe Sabatier, Frédéric Joly, Bernard Hubert. Assessing both ecological and engineering resilience of a steppe agroecosystem using the viability theory. Agricultural Systems, Elsevier Masson, 2017, 157, pp.146-156. ⟨10.1016/j.agsy.2017.07.009⟩. ⟨hal-02627849⟩

Le détail du modèle peut être retrouvé dans l'article suivant: 

Rodolphe Sabatier, Luc Doyen, Muriel Tichit. Action versus Result-Oriented Schemes in grassland agroecosystem: A dynamic modelling approach. PLoS ONE, Public Library of Science, 2012, 7 (4), 11 p. ⟨10.1371/journal.pone.0033257⟩. ⟨hal-01191070⟩