Racines d'équations non linéaires

Introduction

L'ensemble de toutes les racines d'une équation non linéaire comme celui des équilibres de dynamiques multivoques situés dans un ensemble donné $K$ peut être formulé comme le noyau de viabilité d'un ensemble auxiliaire associé à une équation différentielle auxiliaire et peut donc être calculé à l'aide de l'algorithme du noyau de viabilité. 

Problème de viabilité associé aux racines ou aux équilibres

Ce résultat a été démontré dans l'article :

Patrick Saint-Pierre "Equilibria and Stability in Set-Valued Analysis: a Viability Approach" Volume 35 / 1996 Banach Center Publications 35 (1996), 243-255 DOI: 10.4064/-35-1-243-255.

Soient $F : X \leadsto Y$ une application multivoque et $K$ un sous-ensemble fermé de $X$. On note

$$\text{Equi}_F(K) := \{x \in K \mid 0 \in F(x)\}$$

l'ensemble de tous les équilibres de $F$ contenus dans $K$.
Soit $Z := X \times Y$, on définit $\Phi : Z \leadsto Z$ par :
$$\Phi(x, y) = \begin{pmatrix} 0 \\ F(x) \end{pmatrix}$$.
On considère le système d'inclusion différentielle
$$(x'(t), y'(t)) \in \Phi(x(t), y(t)), \text{ p.p. } t \geq 0$$

et, pour tout $c \geq 0$, l'ensemble de contraintes

$$(x(t), y(t)) \in K \times cB, \forall t \in [0, +\infty)$$.

Soit $\Pi_X$ la projection $(x, y) \to x$.

Proposition : Soit $F$ une application multivoque Marchaud et $K \subset X$ un fermé. 
Alors $\forall c \in \mathbb{R}^+$, $$\text{Equi}_F(K) = \Pi_X(\text{Viab}_\Phi(K \times cB)).$$

Pour $c = 0$, le résultat reste vrai : la projection du noyau de viabilité de $K \times \{0\}$ est l'ensemble des équilibres du système.

Remarque : On peut également appliquer la proposition avec $\phi(x) := \min_{y \in F(x)} \|y\|$, ou $\phi(x) := \|f(x)\|$
lorsque $F$ est une application continue univoque $f : X \to Y$, et considérer le système d'équations différentielles

$$(x'(t),z'(t)) = (0,\phi(x(t)),$$

sous la contrainte

$$(x(t), z(t)) \in K \times [0, c], \forall t \in [0, +\infty).$$

Application

Comme dans le chapitre 1 de l'ouvrage

Jean-Pierre Aubin, Alexandre Bayen, Patrick Saint-Pierre. Viability Theory: New Directions. Springer, pp.830, 2011, ISBN 978-3-642-16683-9. ⟨10.1007/978-3-642-16684-6⟩. ⟨inria-00636570⟩

nous illustrons la proposition ci-dessus avec le calcul d'une approximation de l'ensemble des racines de l'application $f : R^3 \rightarrow R$ définie par

$$
f(x,y,z)=(|x-\sin z|+|y-\cos z|)(|x+\sin z|+|y+\cos z|).
$$

Ainsi, l'ensemble des racines de $f$ dans l'ensemble $K$ peut être caractérisé comme une projection du noyau de viabilité du système auxiliaire 

$$
\left\{\begin{array}{ll}
x'&= 0\\
y'&= 0\\
z'&= 0\\
e' &= f(x,y,z)
\end{array}\right.
$$

avec l'ensemble de contraintes

$$
K\times [0;c].
$$

Résultats

L'ensemble des solutions de l'équation 

$$
(|x-\sin z|+|y-\cos z|)(|x+\sin z|+|y+\cos z|) = 0
$$

peut être décrit analytiquement, c'est une double hélice définie par

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\sin z\\
y=\cos z
\end{array}\right.
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=-\sin z\\
y=-\cos z
\end{array}\right.
$$

Grâce à sa caractérisation en terme de projection de noyau de viabilité, une approximation de cet ensemble de solutions peut être calculé par le logiciel ViabLab dont on peut ainsi tester la précision.

Nous reproduisons ci-dessous une vue 3D de la projection selon le 4ème axe de l'approximation du noyau de viabilité calculé par le logiciel ViabLab à partir d'une grille de $401\times 401\times 801 \times 5$ points pour les valeurs de paramètres : $K = [-1;1]\times [-1;1]\times [-2;2]$ et $c=0.01$.