Problème de Zermelo

Introduction

Le « problème de navigation de Zermelo » originel s'énonce comme suit : dans un plan illimité où la répartition du vent est définie par un champ de vecteurs dépendant de la position et du temps, un navire se déplace à vitesse constante par rapport à la masse d'air environnante. Comment le navire doit-il être dirigé pour rallier une destination donnée depuis un point de départ dans le temps le plus court ?

Ce problème peut-être modélisé sous la forme d'un système dynamique contrôlé dont on cherche la commande optimale, celle qui minimise le temps mis pour atteindre la cible.
Les variables d'état $x$ et $y$ désignent les coordonnées du navire en mouvement, tandis que $f(x, y)$ et $g(x, y)$ représentent les composantes de la vitesse du vent qui dépendent de la position. Deux variables de commande régissent l'évolution du navire : la vitesse $v$, dont la norme $||v||$ est bornée par un seuil dépendant de la position ($||v|| ≤ c(x,y)$), et la direction $u$, c'est-à-dire l'angle que forme le vecteur vitesse relative avec l'axe des $x$ qui est contrainte par les bornes $\alpha_{min}(x, y)$ et $\alpha_{max}(x, y)$.
L'évolution du navire est ainsi régie par le système dynamique contrôlé suivant :
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
x'(t) &= f(x(t), y(t)) + v(t) \cos u(t) \\
y'(t) &= g(x(t), y(t)) + v(t) \sin u(t) \\
u(t) &\in [\alpha_{min}(x(t), y(t)),\alpha_{max}(x(t), y(t)] \text{ et } ||v(t)|| ≤ c(x(t), y(t)).
\end{array}
\right.
\end{equation}
 

Le problème de Zermelo revisité avec les concepts de la théorie de la viabilité

Dans leur livre

Aubin, J.-P., Bayen, A., & Saint-Pierre, P. Viability Theory: New Directions. Springer. 2011.

les auteurs revisitent le problème de Zermelo en remplaçant le "plan illimité" par un environnement $K\subset \mathbb{R}^2$ avec des obstacles, le « but » étant le port, il joue le rôle de la « cible » $C \subset K$ dans la terminologie de la théorie de la viabilité. Il s’agit bien entendu d’un problème plus complexe que le problème de Zermelo initial en raison de ces contraintes supplémentaires définies par l'ensemble $K$ dans lequel les trajectoires doivent rester. 

Pour l'illustration numérique, les auteurs choisissent comme zone de déplacement du bateau $K\subset [-b;b]\times\mathbb{R}$ etcomme dynamique du courant $f(x,y)=0$ et $g(x,y)=a(b^2-x^2)$, sans contrainte sur le choix de l'angle de la vitesse relative et une borne supérieure de la norme de cette vitesse constante  Ainsi,  l'évolution du navire est régie par l'équation de Zermelo :

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
x'(t) &= v(t) \cos u(t) \\
y'(t) &= a(b^2-x^2(t)) + v(t) \sin u(t) \\
u(t) &\in [0,2\pi] \text{ et } ||v(t)|| ≤ c.
\end{array}
\right.
\end{equation}