Cette page présente les principaux indicateurs utilisés dans la théorie mathématique de la viabilité. Vous y trouverez leur définition, leur rôle dans l’évaluation de la viabilité d’un système, ainsi que des exemples d’application. Chaque indicateur est expliqué de façon à comprendre comment il se calcule, comment l’interpréter et dans quel contexte il peut être utilisé.
Distance à l’ensemble viable (ou distance de viabilité)
Définition :
C’est la distance entre un état donné xxx et l’ensemble des états viables V.
Formule :
$$
d(x, \mathcal{V}) = \inf_{y \in \mathcal{V}} \| x - y \|
$$
Utilité :
Plus cette distance est grande, plus l’état est éloigné des conditions de viabilité ; elle mesure donc à quel point un système est "en danger" de sortir des contraintes viables.
Viability Kernel (Noyau de viabilité)
Définition :
C’est l’ensemble des états initiaux à partir desquels il existe au moins une trajectoire admissible respectant les contraintes pour tous les temps futurs.
Formellement :
$$
\text{Viab}_F(K) = \left\{ x_0 \in K \,\middle|\, \exists \ x(t), \ \dot{x}(t) \in F(x(t)), \ x(t) \in K, \ \forall t \geq 0 \right\}
$$
Utilité :
Cet indicateur est central : il permet d’identifier la "zone sûre" du système à long terme.
Set-Valued Derivative (Dérivée au sens de contingent)
Définition :
C’est un indicateur local qui évalue si la dynamique du système est compatible avec les contraintes à un instant donné.
Formule simplifiée :
$$
F(x) \cap T_K(x) \neq \emptyset
$$
avec TK(x) = cône tangent à l’ensemble des contraintes K en x, et F(x) = dynamique du système.
Utilité :
Si l’intersection est vide, alors l’état n’est pas viable à court terme.
