Principes de base de la théorie mathématique de la viabilité

La théorie de la viabilité propose une nouvelle manière d’aborder les systèmes dynamiques. Plutôt que de chercher à optimiser un objectif unique, elle cherche à déterminer dans quelles conditions un système peut évoluer durablement sans sortir d’un ensemble de contraintes.

 

1. Le concept de viabilité

Un système est viable s’il peut évoluer au fil du temps tout en respectant des contraintes d’état. Ces contraintes peuvent être :

• Écologiques : une population ne doit pas chuter sous un seuil critique.

• Économiques : un niveau de dette ne doit pas dépasser un plafond.

• Physiques : un robot ne doit pas sortir d’une zone de sécurité.

En d’autres termes, un système est viable si il existe au moins une trajectoire temporelle qui reste à l’intérieur de ces contraintes à tout instant.

 

2. Les systèmes dynamiques sous contraintes

La théorie s’applique à des systèmes dynamiques formalisés mathématiquement par des équations différentielles ou des inclusions différentielles, de la forme :

x˙(t)∈F(x(t))

où :

• x(t) est l’état du système à l’instant t,

• F(x) est un champ de vecteurs multivalué (permettant plusieurs directions possibles),

• La trajectoire x(t)doit rester dans un ensemble de contraintes K⊆Rn

 

3. L’ensemble viable

L’ensemble viable est l’ensemble des états initiaux à partir desquels il est possible de rester dans les contraintes pour toujours.

On note cet ensemble :

ViabF(K)

Il est défini par :

ViabF(K)={x0∈K∣∃x(⋅) tel que x(0)=x0 et x(t)∈K ∀t≥0}

 

4. Les trajectoires viables

Une trajectoire viable est une solution dynamique qui respecte :

• Les lois d’évolution du système (via F),

• Les contraintes imposées (via K).

Il peut exister plusieurs trajectoires viables pour un même état initial. L’objectif n’est donc pas de choisir la meilleure, mais de comprendre quelles sont toutes les trajectoires possibles qui ne violent pas les contraintes.

 

5. Outils et concepts associés

Voici quelques notions fondamentales associées :

• Inclusions différentielles : généralisent les équations différentielles pour permettre des évolutions non uniques.

• Conditions de tangence de Nagumo : permettent de caractériser les ensembles viables.

• Capture basin (bassin d’attraction viable) : ensemble des états à partir desquels on peut atteindre une cible sans violer les contraintes.

• Viability kernel (noyau de viabilité) : plus petit ensemble contenant toutes les trajectoires viables.

 

6. Pourquoi est-ce important ?

• Parce que dans la réalité, il n’y a pas toujours une solution idéale. Mais il est essentiel de savoir ce qui est possible sans mettre en péril le système.

• Parce que cette approche s’applique aussi bien aux écosystèmes, aux robots autonomes, qu’aux systèmes sociaux ou économiques.

• Parce qu’elle fournit un cadre mathématique robuste pour raisonner en termes de durabilité, de résilience et de gouvernance adaptative.

 

En résumé

La théorie de la viabilité repose sur une idée simple mais puissante : ne pas chercher la meilleure solution, mais éviter les solutions inacceptables. Elle définit mathématiquement l’ensemble des états sûrs, dans lesquels un système peut continuer à fonctionner sans sortir des règles du jeu.