Ecologie

Introduction 

L'accumulation de nutriments (comme le phosphore ou l'azote) dans l'eau d'un lac peut amener un changement d'état qui s'accompagne de prolifération d'algues, de dégradation de la qualité de l'eau et de la biodiversité, éventuellement de bloom bactérien : c'est l'eutrophisation. Le problème du lac et des exploitations riveraines consiste à   déterminer s'il est possible de concilier la pratique d'une activité qui apporte des nutriments et la conservation du lac dans un état souhaitable (oligotrophe, par opposition à eutrophe).

Ce problème est décrit en détail dans :

S. Martin. The cost of restoration as a way of defining resilience: a viability approach applied to a model of lake eutrophication. Ecol. Soc.   http://www.ecologyandsociety.org/vol9/iss2/art8

Modélisation

On souhaite que les apports $L$ soient supérieurs à un seuil $L_{min}$, pour tenir compte des besoins de l'activité des exploitations riveraines ; et que la concentration du phosphore total, $P$ soit inférieure à un seuil $P_{max}$ pour conserver le lac oligotrophe. Ces états souhaitables constituent l'ensemble de contraintes $K=[L_{min}, +\infty[ \times [0,P_{max}]$.

L'évolution de la concentration du phosphore total dans le lac est modélisée par une pseudo-sygmoïde :

$$\frac {dP} {dt}=-bP(t)+L(t)+r\frac {P(t)^{q}} {m^{q} + P(t)^{q}} \qquad$$

On suppose que l'évolution des apports de phosphore peut être contrôlée (par des unités de dépollution, la mise en place de zones humides, le changement de pratique agricoles ou industrielles, etc.) et on modélise ces contrôles par une grandeur unique $u \in [u_{min},u_{max}]$.  La dynamique des apports est modélisée par :

$$\frac {dL} {dt}=u \in [- u_{min}, u_{max}] \qquad$$

Le problème de viabilité est donc défini par :

\begin{equation}
(P)\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dL}{dt}=u\in U=\left[ u_{min},u_{max}\right] \\
\frac{dP}{dt}=-b P(t) + L(t) +r\frac{P(t)^{q}}{m^{q} + P(t)^{q}} \\
\left(L(t),P(t)\right) \in K=[L_{min}, +\infty[ \times [0,P_{max}]
\end{array}
\right.
\end{equation}

Résoudre ce problème, c'est trouver l'ensemble des états $(L,P)$ à partir desquels il est possible en agissant les variations des apports en phosphates de conserver au cours du temps un lac oligotrophe tout en maintenant des activités agricoles, c'est à dire le noyau de viabilité dans la terminologie de la théorie de la viabilité.

Résultats

Le noyau de viabilité peut être obtenu par le calcul d'une courbe intégrale (voir page 7 dans https://arxiv.org/pdf/2107.02684 ).

En effet, sa frontière est définie par une courbe fermée formée de sous-ensembles de la frontière de l'ensemble de contraintes $K$ et d'une courbe intégrale issue du point $(L_e,P_{max})$ avec $\frac{dP}{dt}(L_e,P_{max}) =0$ qui suit la dynamique inverse : 
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dL}{dt}=-u_{min}\\
\frac{dP}{dt}=-(-b P(t) + L(t) +r\frac{P(t)^{q}}{m^{q} + P(t)^{q}}) 
\end{array}
\right.
\end{equation}

La figure suivante montre le résultat pour les paramètres suivants : $b=1,95$ an$^{-1}$ ; $q=1,9$ ; $m=19,44\  \mu gl^{-1}$; $r=72,22\  \mu gl^{-1}$ an$^{-1}$; $L_{min}=1,25\  \mu gl^{-1}$ ; $P_{max}=17,39\  \mu gl^{-1}$ ;   $|u_{min}|=u_{max}=3,15$.

Ce problème de viabilité, par l'existence de la description de sa frontière à l'aide d'une courbe intégrale permet de tester la finesse d'approximations issues de logiciels génériques.

Ci-dessous la comparaison pour $b=0.8$ year$^{-1}$ ; $q=8$ ; $m=1\  \mu gl^{-1}$; $r=1\  \mu gl^{-1}$ year$^{-1}$; $L_{min}=0.1\  \mu gl^{-1}$ ; $P_{max}=1.2\  \mu gl^{-1}$ ;   $-u_{min}=u_{max}=0.09$ entre le noyau de viabilité décrit par la courbe intégrale (en rouge) et le résultat approché obtenu avec le logiciel ViabLab sur une grille régulière de 3001*3001points (ensemble bleu clair avec la frontière bleu foncé) :

On remarque que conformément à la description de l'algorithme de viabilité de Patrick Saint-Pierre, l'approximation du noyau est bien faite par l'extérieur.