Agriculture

Introduction

L'un des enjeux majeurs de la gestion des prairies pâturées consiste à concilier des objectifs antagonistes : accroître les profits à court terme tout en préservant la viabilité à long terme du parcours. 
En effet, augmenter la charge pastorale (nombre d'animaux par hectare) permet d'accroître les gains à court terme, mais peut entraîner une dégradation pratiquement irréversible du milieu si la pression de pâturage qui en résulte est excessive. À l'inverse, maintenir une charge pastorale trop faible peut engendrer un manque à gagner considérable. 

Dans leur article 

Anderies, J., Janssen, M. & Walker, B. Grazing Management, Resilience, and the Dynamics of a Fire-driven Rangeland System. Ecosystems 5, 23–44 (2002). https://doi.org/10.1007/s10021-001-0053-9

les auteurs utilisent le modèle suivant pour rendre compte des interactions entre la pousse de l'herbe et la pression de pâturage : 

$$
\left\{\begin{array}{ll}
c'(t) &= r_cs-\delta_cc\\
s'(t)&= c(a_c+r_ss)(1-\frac{s}{s^*}-\alpha_{ws}(\frac{w}{w^*})^\beta)-\gamma_gs\\
w'(t)&=r_ww(1-\frac{w}{w^*})
\end{array}\right.
$$

Concernant l'herbe, $c(t)$ et $s(t)$ représentent respectivement la biomasse de la couronne (racines plus points de croissance) et celle de la partie aérienne à l'instant $t$. Le paramètre $s^*$ correspond à la biomasse aérienne maximale par unité de surface, tandis que $\gamma_g$ représente la fraction de la partie aérienne prélevée par la pression de pâturage exercée par l'ensemble des animaux présents. La couronne croît à un taux $r_cs$ en présence de parties aériennes et régresse à un taux $\delta_c$.
$a_c$ correspond au taux de croissance de la biomasse aérienne par unité de biomasse de la couronne, $r_s$ au taux de croissance de la biomasse aérienne par unité de biomasse de la couronne et par unité de biomasse aérienne.

La croissance de l'herbe est également affectée par la présence d'arbustes : $w(t)$ représente la biomasse des arbustes, $r_w$ le taux de croissance intrinsèque des arbustes, $w^*$ la biomasse maximale des arbustes par unité de surface, et $w_s(=w/w^*)$ modélise l'effet de compétition des arbustes sur l'herbe. Le paramètre $\beta$ mesure la non-linéarité relative de cet effet.

$$
\left\{\begin{array}{ll}
s'(t)&= \frac{r_c}{\gamma_c}(a_c+r_ss)(1-\frac{s}{s^*}-\alpha_{ws})-\gamma_gs\\
\gamma_g'(t)&= u \in [-0.02;0.02].
\end{array}\right.
$$

Ce système décrit une ferme et un restaurant appartenant à un même projet. Par conséquent, ils fonctionnent en étroite collaboration.

Description du système :

de Lapparent, A., Martin, S. & Sabatier, R. Using System Modularity to Simplify Viability Studies: An Application to a Farm-Restaurant Interaction. Environ Model Assess (2024). https://doi.org/10.1007/s10666-024-10014-w

L'objet calculé est un noyau de viabilité. Le modèle est discret en termes d'états, de contrôles et de temps.

Le calcul prend un instant (4088 s sur mon ordinateur), veuillez patienter…

Modèle

États et contrôles

Variables d'état

la limite supérieure de  $x_1$ peut être relâchée.

Variables de contrôle

Dynamiques

Les dynamiques sont décrites par :

\begin{equation}
   \mathcal{S}_U
   \begin{cases}
   x_{1}^{t+1} = x_{1}^t + G(x_{2}^t,u_{3}^t,R(x_3^t,u_1^t,u_2^t)) - E(u_{1}^t,u_{2}^t)\\
   x_{2}^{t+1} = \alpha(x_{2}^t,u_{3}^t,R(x_3^t,u_1^t,u_2^t))\\
   x_{3}^{t+1} = \Phi (x_{3}^t ,u_{1}^t,u_{2}^t) \\
   \end{cases}
\end{equation}

avec comme fonctions :

Certaines dynamiques nécessitent l'utilisation de paramètres de grille. Par conséquent, une fonction a été implémentée dans le fichier source pour obtenir ces valeurs.

Constraintes

Ce système comporte deux contraintes : la rentabilité du système global et la préservation d'une qualité minimale des sols pour répondre aux enjeux de durabilité. Ces contraintes se traduisent par des seuils sur les flux de trésorerie cumulés ($x_{1} \geq x_{1min}$) et sur la qualité du sol ($x_3 \geq x_{3min}$), respectivement. En d'autres termes, $(x_1^t,x_2^t,x_3^t)$ doit rester dans $K$ pour tout $t\in \mathbb{N}$ avec : 
\begin{equation}
K:=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^+\times [0;1]^2 \; |\; x_1\geq x_{1min} \text{ and }x_3\geq x_{3min}\}.
\end{equation}

Implementation parameters

Time horizon

The time horizon (for trajectory computations) is 20 years.

Algorithm parameters

Default parameters are used.

System parameters

We used the parameters for a low-hypotheses computation.

   "SYSTEM_PARAMETERS": {
       "DYNAMICS_TYPE": 2,
       "DYN_BOUND": 1,
       "DYN_BOUND_COMPUTE_METHOD": 2,
       "IS_TIMESTEP_GLOBAL": 0,
       "LIPSCHITZ_CONSTANT": 1,
       "LIPSCHITZ_CONSTANT_COMPUTE_METHOD": 2,
       "TIME_DISCRETIZATION_SCHEME": 4
   }

Viability kernel computed using ViabLab