Voici un exemple dont on connaît le noyau de viabilité.
En effet, prenons une dynamique en deux dimensions dont l'orbite des points du cercle de centre l'origine du repère et de rayon $a$ est ce même cercle ; dont l'orbite des points de norme strictement inférieure à $a$ est une spirale qui tend vers l'origine et dont l'orbite des points de norme strictement supérieure à $a$ est une spirale qui diverge.
C'est le cas des solutions de l'équation $x'=f(x)$ avec
$$
f(x_1,x_2):=(\frac{||x||-a}{||x||}x_1+x_2 ; -x_1+\frac{||x||-a}{||x||}x_2)
$$
Prenons comme ensemble de contraintes, le carré :
$$
K := \{(x_1,x_2)\in R^2\,|\, |x_1|\leq c \text{ et } |x_2|\leq c \}.
$$
De manière évidente, l'ensemble des points dont sont issues des trajectoires qui restent dans $K$ indéfiniment est le disque de centre l'origine du repère et de rayon $a$.
Cet exemple permet de tester la finesse d'approximations issues de logiciels génériques.
| Dynamiques | Contraintes | Cible | Concept de Viabilité |
|
Temps continu Continues en espace de dimension 2 $f(x_1,x_2):=(\frac{||x||-a}{||x||}x_1+x_2 ; -x_1+\frac{||x||-a}{||x||}x_2) Paramètres : $a$ |
$\{(x_1,x_2)\in R^2\,|\, |x_1|\leq c \text{ et } |x_2|\leq c \}$
Paramètres : $c$ |
Aucune | Noyau de viabilité |
Ci-dessous la comparaison pour $a = 0.7$ et $c=1.5$ entre le résultat théorique (le disque dont la frontière est le cercle rouge) et le résultat approché obtenu avec le logiciel ViabLab sur une grille régulière de 2001*2001points (ensemble vert avec la frontière bleue) :
Nous mettons à disposition ci-dessous les fichiers nécessaires pour calculer les approximations susmentionnées à l'aide du logiciel ViabLab.
Veuillez consulter les supports de formation :