Temps continu

Introduction

L'un des enjeux majeurs de la gestion des prairies pâturées consiste à concilier des objectifs antagonistes : accroître les profits à court terme tout en préservant la viabilité à long terme du parcours. 
En effet, augmenter la charge pastorale (nombre d'animaux par hectare) permet d'accroître les gains à court terme, mais peut entraîner une dégradation pratiquement irréversible du milieu si la pression de pâturage qui en résulte est excessive. À l'inverse, maintenir une charge pastorale trop faible peut engendrer un manque à gagner considérable. 

Dans leur article 

Anderies, J., Janssen, M. & Walker, B. Grazing Management, Resilience, and the Dynamics of a Fire-driven Rangeland System. Ecosystems 5, 23–44 (2002). https://doi.org/10.1007/s10021-001-0053-9

les auteurs utilisent le modèle suivant pour rendre compte des interactions entre la pousse de l'herbe et la pression de pâturage : 

$$
\left\{\begin{array}{ll}
c'(t) &= r_cs-\delta_cc\\
s'(t)&= c(a_c+r_ss)(1-\frac{s}{s^*}-\alpha_{ws}(\frac{w}{w^*})^\beta)-\gamma_gs\\
w'(t)&=r_ww(1-\frac{w}{w^*})
\end{array}\right.
$$

Concernant l'herbe, $c(t)$ et $s(t)$ représentent respectivement la biomasse de la couronne (racines plus points de croissance) et celle de la partie aérienne à l'instant $t$. Le paramètre $s^*$ correspond à la biomasse aérienne maximale par unité de surface, tandis que $\gamma_g$ représente la fraction de la partie aérienne prélevée par la pression de pâturage exercée par l'ensemble des animaux présents. La couronne croît à un taux $r_cs$ en présence de parties aériennes et régresse à un taux $\delta_c$.
$a_c$ correspond au taux de croissance de la biomasse aérienne par unité de biomasse de la couronne, $r_s$ au taux de croissance de la biomasse aérienne par unité de biomasse de la couronne et par unité de biomasse aérienne.

La croissance de l'herbe est également affectée par la présence d'arbustes : $w(t)$ représente la biomasse des arbustes, $r_w$ le taux de croissance intrinsèque des arbustes, $w^*$ la biomasse maximale des arbustes par unité de surface, et $w_s(=w/w^*)$ modélise l'effet de compétition des arbustes sur l'herbe. Le paramètre $\beta$ mesure la non-linéarité relative de cet effet.

$$
\left\{\begin{array}{ll}
s'(t)&= \frac{r_c}{\gamma_c}(a_c+r_ss)(1-\frac{s}{s^*}-\alpha_{ws})-\gamma_gs\\
\gamma_g'(t)&= u \in [-0.02;0.02].
\end{array}\right.
$$

Introduction

Considérons le modèle classique proies-prédateurs de Lotka-Volterra à deux variables $x(t)$ l'effectif des proies en fonction du temps et $y(t)$ l'effectif des prédateurs au cours du temps.
Les variations des populations au cours du temps dépendent : 

• du taux de reproduction $\alpha$ des proies
• du taux de mortalité des proies dû aux prédateurs, $\beta$
• du taux de production des prédateurs en fonction des proies mangées, $\delta$,
• du taux de mortalité des prédateurs, $\gamma$.

Lotka et Volterra ont proposé simultanément les équations suivantes : 

$$\left\{\begin{array}{l}x'=x(\alpha-\beta y)\\ y'=y(\delta x-\gamma)\end{array}\right.$$
 

Modélisation d'un problème de viabilité pour les proies

Dans leur article 

Térence Bayen, Alain Rapaport. Minimal time crisis versus minimum time to reach a viability kernel : a case study in the prey-predator model. Optimal Control Applications and Methods, 2019, 40 (2), pp.330-350. ⟨10.1002/oca.2484⟩. ⟨hal-01943636v2⟩

les auteurs se sont intéressés au problème de la préservation des proies face aux prédateurs, en maintenant autant que possible leur effectif au-dessus d'un seuil donné $\underline{x} > 0$, ce qui revient à faire en sorte que l'état appartienne à l'ensemble

$$K(\underline{x}):=\{(x,y)\,|\, x>=\underline{x}\},$$

considérant qu'une faible densité de proies les expose à un risque de disparition qu'il convient d'éviter autant que possible.

Reprenant les équations originelles de Lotka-Volterra, les auteurs considérent des valeurs constantes pour $\alpha=r $, $\beta=1$ et $\delta=1$.

Un contrôle peut toutefois agir sur la mortalité des prédateurs, ainsi, les auteurs posent $\gamma= m +u$ avec $m$ une constante et $u$ une surmortalité dont la valeur peut varier, $u(t) \in [0;\bar{u}]$.

Le problème de viabilité se résume ainsi : 

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=x(r- y)\\ 
y'=y( x-m-u)\\
u(t) \in [0;\bar{u}]\\
\left(x(t),y(t)\right) \in K(\underline{x}):=\{(x,y)\,|\, x>=\underline{x}\}
\end{array}
\right.
\end{equation}

Résoudre ce problème, c'est trouver l'ensemble des états $(x,y)$ à partir desquels il est possible de conserver au cours du temps un effectif de proie supérieur à $\underline{x}$ en agissant sur la surmortalité des proies, c'est à dire le noyau de viabilité dans la terminologie de la théorie de la viabilité.

Résultats

Les auteurs fournissent une description analytique de ce noyau de viabilité. 

Lorsque $\bar{u}\geq \underline{x}-m$, en considérant l'invariant de ce système Lotka-Volterra (qui dépend de $u$) $W_u(x,y):=x-(m+u)\ln x+y -r\ln y$, ils construisent la frontière du noyau de viabilité à l'aide d'une courbe fermée suivante composée de 3 sous-ensembles : 

• $\{(x,y) | y\geq r \text{ and }W_{\bar{u}}(x,y)=W_{\bar{u}}(\underline{x}, r) \}$. 
• Let $x^+>\underline{x}$ such that $W_{\bar{u}}(x^+,r)=W_{\bar{u}}(\underline{x}, r)$, 
   $\{(x,y) | y\leq r \text{ and }W_{0}(x,y)=W_{0}(x^+, r) \}$
• Let $r^-$ such that $W_{0}(\underline{x},r^-)=W_{0}(x^+, r)$, 
  $\{(x,y) | x=\underline{x} \text{ and } y\in [r^-,r]\}$
   

La figure suivante montre le résultat pour les paramètres suivants : $r=1$, $m=1$,  $\bar{u}=0.5$, $\underline{x}=0.8$.

Ce problème de viabilité, par l'existence de la description analytique de sa frontière permet de tester la finesse d'approximations issues de logiciels génériques.

Ci-dessous la comparaison pour $r=1$, $m=1$,  $\bar{u}=0.5$, $\underline{x}=0.8$ entre la frontière du noyau de viabilité issue de sa description analytique (en rouge) et le résultat approché obtenu avec le logiciel ViabLab sur une grille régulière de 4001*4001points (ensemble bleu clair avec la frontière bleu foncé) :

 On remarque que conformément à la description de l'algorithme de viabilité de Patrick Saint-Pierre, l'approximation du noyau est bien faite par l'extérieur.

Introduction 

L'accumulation de nutriments (comme le phosphore ou l'azote) dans l'eau d'un lac peut amener un changement d'état qui s'accompagne de prolifération d'algues, de dégradation de la qualité de l'eau et de la biodiversité, éventuellement de bloom bactérien : c'est l'eutrophisation. Le problème du lac et des exploitations riveraines consiste à   déterminer s'il est possible de concilier la pratique d'une activité qui apporte des nutriments et la conservation du lac dans un état souhaitable (oligotrophe, par opposition à eutrophe).

Ce problème est décrit en détail dans :

S. Martin. The cost of restoration as a way of defining resilience: a viability approach applied to a model of lake eutrophication. Ecol. Soc.   http://www.ecologyandsociety.org/vol9/iss2/art8

Modélisation

On souhaite que les apports $L$ soient supérieurs à un seuil $L_{min}$, pour tenir compte des besoins de l'activité des exploitations riveraines ; et que la concentration du phosphore total, $P$ soit inférieure à un seuil $P_{max}$ pour conserver le lac oligotrophe. Ces états souhaitables constituent l'ensemble de contraintes $K=[L_{min}, +\infty[ \times [0,P_{max}]$.

L'évolution de la concentration du phosphore total dans le lac est modélisée par une pseudo-sygmoïde :

$$\frac {dP} {dt}=-bP(t)+L(t)+r\frac {P(t)^{q}} {m^{q} + P(t)^{q}} \qquad$$

On suppose que l'évolution des apports de phosphore peut être contrôlée (par des unités de dépollution, la mise en place de zones humides, le changement de pratique agricoles ou industrielles, etc.) et on modélise ces contrôles par une grandeur unique $u \in [u_{min},u_{max}]$.  La dynamique des apports est modélisée par :

$$\frac {dL} {dt}=u \in [- u_{min}, u_{max}] \qquad$$

Le problème de viabilité est donc défini par :

\begin{equation}
(P)\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dL}{dt}=u\in U=\left[ u_{min},u_{max}\right] \\
\frac{dP}{dt}=-b P(t) + L(t) +r\frac{P(t)^{q}}{m^{q} + P(t)^{q}} \\
\left(L(t),P(t)\right) \in K=[L_{min}, +\infty[ \times [0,P_{max}]
\end{array}
\right.
\end{equation}

Résoudre ce problème, c'est trouver l'ensemble des états $(L,P)$ à partir desquels il est possible en agissant les variations des apports en phosphates de conserver au cours du temps un lac oligotrophe tout en maintenant des activités agricoles, c'est à dire le noyau de viabilité dans la terminologie de la théorie de la viabilité.

Résultats

Le noyau de viabilité peut être obtenu par le calcul d'une courbe intégrale (voir page 7 dans https://arxiv.org/pdf/2107.02684 ).

En effet, sa frontière est définie par une courbe fermée formée de sous-ensembles de la frontière de l'ensemble de contraintes $K$ et d'une courbe intégrale issue du point $(L_e,P_{max})$ avec $\frac{dP}{dt}(L_e,P_{max}) =0$ qui suit la dynamique inverse : 
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dL}{dt}=-u_{min}\\
\frac{dP}{dt}=-(-b P(t) + L(t) +r\frac{P(t)^{q}}{m^{q} + P(t)^{q}}) 
\end{array}
\right.
\end{equation}

La figure suivante montre le résultat pour les paramètres suivants : $b=1,95$ an$^{-1}$ ; $q=1,9$ ; $m=19,44\  \mu gl^{-1}$; $r=72,22\  \mu gl^{-1}$ an$^{-1}$; $L_{min}=1,25\  \mu gl^{-1}$ ; $P_{max}=17,39\  \mu gl^{-1}$ ;   $|u_{min}|=u_{max}=3,15$.

Ce problème de viabilité, par l'existence de la description de sa frontière à l'aide d'une courbe intégrale permet de tester la finesse d'approximations issues de logiciels génériques.

Ci-dessous la comparaison pour $b=0.8$ year$^{-1}$ ; $q=8$ ; $m=1\  \mu gl^{-1}$; $r=1\  \mu gl^{-1}$ year$^{-1}$; $L_{min}=0.1\  \mu gl^{-1}$ ; $P_{max}=1.2\  \mu gl^{-1}$ ;   $-u_{min}=u_{max}=0.09$ entre le noyau de viabilité décrit par la courbe intégrale (en rouge) et le résultat approché obtenu avec le logiciel ViabLab sur une grille régulière de 3001*3001points (ensemble bleu clair avec la frontière bleu foncé) :

On remarque que conformément à la description de l'algorithme de viabilité de Patrick Saint-Pierre, l'approximation du noyau est bien faite par l'extérieur.