Introduction
Le problème d'eutrophisation du lac décrit comme le problème de viabilité du lac et des exploitations riveraines est traité à un niveau global et suppose un décideur unique. Dans le présent exemple les parties prenantes sont réunies dans un comité, et les membres du comité (appelés individus dans la suite) ne sont pas nécessairement d'accord sur la dynamique du lac. Cet exemple illustre les cas où la gestion est collective et où il n'y a pas de consensus sur la dynamique. Ce problème est un problème de viabilité garantie.
Ce problème est décrit en détail dans :
Alvarez, I., Zaleski, L., Briot, J.-P., Irving, M. de A. (2023). Collective management of environmental commons with multiple usages: A guaranteed viability approach. Ecological Modelling, 475, Article 110186
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Les caractéristiques
Les caractéristiques du problème modélisé sont les suivantes :
- $N$ individus utilisent les même variables pour décrire le système. Dans cet exemple du lac, ce sont les mêmes variables $L$ (apports de phosphore) et $P$ (concentration totale de phosphore) que dans le cas du décideur unique.
- Les contrôles admissibles retenus dans les modèles sont communs à tous les individus. On garde donc la même variable de contrôle et les mêmes bornes : $u\in U=[u_{min},u_{max}]$.
- Tous les individus $i$ peuvent définir un ensemble d'états souhaitables $K_i$ dont l'intersection est non vide. On garde donc un ensemble de contraintes similaires au cas du décideur unique : $x=\left(L(t),P(t)\right) \in K=[L_{min}, +\infty[ \times [0,P_{max}]$
- La dynamique du système est modélisée pour chaque individu par un ensemble d'équations (ou d'inclusion différentielles) $S_i$
- L'objectif de chaque individu est de maintenir le système modélisé par leur dynamique $S_i$ dans leur ensemble d'états souhaitables $K_i$
Les individus acceptent de partager leurs informations personnelles avec un tiers de confiance.
Dans cet exemple, on considère $N=4$ individus. Trois d'entre eux ($i\in\{1,2,3\}$) adoptent la dynamique classique, mais avec des paramètres différents :
\begin{equation} \label{eq:systemlac}
(P_i \text{ modèle 1})\left\{
\begin{array}{l}
\frac{dL}{dt}=u\in U=\left[ u_{min},u_{max}\right] \\
\frac{dP}{dt}=-b_i P(t) + L(t) +r_i\frac{P(t)^{q_i}}{m_i^{q_i} + P(t)^{q_i}} \\
\left(L(t),P(t)\right) \in K=[L_{min}, +\infty[ \times [0,P_{max}]
\end{array}
\right.
\end{equation}
Un individu ($i=4$) considère que le processus de relargage peut se produire différemment, et utilise une formule différente pour la pseudo-sygmoïde :
\begin{equation}
(S' \text{ modèle 0}) \quad \frac{dP}{dt}=-b_i P(t) + L(t) + r_i \frac{P(t)}{P(t) + m_i e^{(-\lambda_i(P(t)-m_i)) }}
\end{equation}
Les valeurs numériques pour les calculs sont les suivantes : $u_{min}=-u_{max}/2$ ; $u_{max}\approx 3,15\; \mu g.l^{-1}.\text{an}^{-1}$, $L_{min}\approx6,94 \; \mu g.l^{-1}$, $P_{max}=24.76 \; \mu g.l^{-1}$,
Le tableau suivant rassemble les valeurs des paramètres pour chaque individu (b,r,m sont en $\mu g.l^{-1}$).
| Paramètres | $b_i$ | | $r_i$ | | $m_i$ | | Modèle | | $q_i$ | | $\lambda_i$ |
|---|
| | perte | | taux | | valeur de P | | choix du | | pente du | | pente du |
|---|
| | | | max. | | pour $r_i/2$ | | modèle | | modèle 1 | | modèle 0 |
|---|
| Individu 1 | 2,2676 | | 101,96 | | 26,90 | | 1 | | 2,222 | | - |
|---|
| Individu 2 | 2,2676 | | 101,96 | | 26,90 | | 1 | | [2,2;2,3] | | - |
|---|
| Individu 3 | [2,2;2,3] | | 101,96 | | 26,90 | | 1 | | 2,222 | | - |
|---|
| Individu 4 | 2,2676 | | 101,96 | | 26,90 | | 0 | | - | | [1/19;1/16] |
|---|
Les incertitudes sont traitées comme des variables prenant leur valeur dans des ensembles. Le problème est un problème de viabilité garantie, dans lequel le vecteur $v$ des "tyches" regroupent les paramètres incertains : $v_1$ représente le paramètre $b_i$, $v_2$ : $\alpha_i$, $v_3$ : $q_i$ et $v_4$ représente $\lambda_i$. La dynamique du modèle avec incertitudes devient :
\begin{equation}
f_v(x=(L,P),u,v)=\left(
\begin{array}{l}
u\\
- v_1 P + L + r \left( (1-v_2) \frac{P^{v_3}}{m^{v_3} + P^{v_3}} + v_2 \frac{P}{P + m e^{(-v_4(P-m)) }}\right) \;
\end{array}
\right)
\end{equation}
Problèmes
Le problème de viabilité garantie qui doit être résolu est le suivant :
\begin{equation}
(P_v)\left\{
\begin{array}{lcl}
(L,P)'(t)&=&f_B((L,P)(t),u(t),v(t))\\
u(t)&\in& U=\left[ u_{min},u_{max}\right] \\
v(t)&\in & V=[2.2,2.3]\times[0,1]\times[2.2,2.3]\times[1/19,1/18]\\
(L,P)(t) &\in& K \;
\end{array}
\right.
\end{equation}
Le noyau garanti peut être approximé avec ViabLab (version 2.2). Le code correspondant est ici : https://forgemia.inra.fr/isabelle.alvarez/emlake
