Temps discret

Considérons les polynomes quadratiques complexes qui s'écrivent sous la forme :

$$\phi_c(z)=z^2+c.$$

L'ensemble de Julia rempli est composé des $z$ tels que la suite des itérés par $\phi_c$ est bornée. 

En prenant $R>0$ suffisamment grand pour que $R^2-R\geq |c|$, l'ensemble de Julia rempli est le sous-ensemble du plan complexe défini par :

$$K(\phi_c)=\{z\in C\; :\; \forall n \in N, \;|\phi_c^n(z)|\leq R\},$$ où $\phi_c^n(z)$ est le n^ième itéré de $\phi_c(z)$. L'ensemble de Julia est la frontière de $K(\phi_c)$.

En 1982, Adrien Douady and Hubbard montrent que les ensembles de Julia sont connexes par arcs si et seulement si la suite des itérés de $0$ est bornée. 

De plus,  $K(\phi_c)$ et $J(\phi_c)$ sont soit connexes par arcs (il existe un chemin inclus dans l'ensemble qui connecte toute paire de points de cet ensemble) ou totalement déconectés (pour toute paire de point, il est impossible de trouver un chemin dans l'ensemble qui les connecte). L'ensemble des points du plan complexe $c$ pour lesquels l'ensemble de Julia est connexe par arcs est appelé l'ensemble de Mandelbrot. Il est défini comme l'ensemble des nombres complexes $c$ pour lesquels la suite des itérés de la fonction $\phi_c$ ne diverge pas vers l'infini partant de $z=0$.

L'ensemble de Mandelbrot est contenu dans la boule de rayon 1, $B(0,2)$. Différentes régions de l'ensemble de Mandelbrot correspondent à différents comprtements de la suite des itérés de $\phi_c$ et différentes caractéristiques des ensembles de Julia.

Aubin et ses coauteurs ont montré que ces ensembles de Julia pouvaient décrits comme des noyaux de viabilité de systèmes particuliers:

Aubin, J.-P., Bayen, A., & Saint-Pierre, P. Viability Theory: New Directions. Springer. 2011.

• De manière assez évidente, le sous-ensemble $K_c:=Viab_{\phi_c}(B(0,2))$ est égal à l'ensemble de Julia rempli de la fonction $\phi_c$ lorsque  $|c|\leq 2$ (ce qui est le cas lorsque $c$ appartient à l'ensemble de Mandebrot) et sa frontière $J_u:=\partial K_c$ est l'ensemble de Julia.

Ainsi, les ensembles ensembles de Julia peuvent être approchés grâce à l'algorithme de viabilité :

Voir ci-dessous des approximations d'ensembles de Julia célèbres : 

• le lapin de Douady lorsque $c$ est proche d'une racine complexe de  $c^3+2c^2+c+1$,  $c\approx -0.123 \pm 0.745i $ (pour cette racine complexe, l'orbite de 0 est périodique de période 3 donc bornée). Le lapin de Douady est ainsi connexe par arcs. L'approximation ci-dessous est obtenue avec le logiciel ViabLab et $c=-0.123 + 0.745i$ : 

• Une approximation de la Basilique lorsque $c=-1$ : 

  

• Et une approximationd'un autre ensemble de Julia avec cette fois $c=-0.8+0.156i$ :

L’herbe est une ressource renouvelable dont le taux de croissance dépend de la période de l’année mais aussi de sa hauteur et des condition météorologiques. Une gestion fine du pâturage demande donc de fixer de manière dynamique, le niveau de chargement (nombre d’animaux par hectare) pour nourrir les animaux tout en évitant les phénomènes de surpâturage. Du fait de l’incertitude sur la croissance de l’herbe liée aux conditions météorologiques, l’enjeu est de mettre en œuvre des séquences de pâturage qui soient non seulement productives mais aussi robustes et adaptables.

Ce problème est décrit en détails dans : 

Sabatier R, Oates, LG, Jackson RD, 2015, Management flexibility of a grassland agroecosystem: A modeling approach based on viability theory, Agricultural Systems http://dx.doi.org/10.1016/j.agsy.2015.06.008

Le système se caractérise par :

• deux états X(t) la biomasse de la ressource en herbe et P(t) le niveau de production cumulée. 

• un contrôle U(t), le chargement

• une incertitude ω ∈ Ω sur le taux de croissance de l’herbe

Du fait du pas de temps journalier de la gestion du chargement, le modèle est discrétisé en temps. De plus, les vaches étant retirées des parcelles pendant plusieurs mois d’affilée en hiver, on se focalise sur une seule saison de pâturage, ce qui implique un horizon temporel finit, t ∈ [90, 300].

La dynamique est la suivante :

Avec r(t, ω) le taux de croissance de l’herbe, K(t) un coefficient de saturation, X_min, la biomasse d’herbe correspondant à la hauteur minimale de pâturage (les vaches sont incapables de prélever de l’herbe d’une hauteur inférieure à un certain seuil), q la quantité de biomasse prélevée par vache et par jour. 

Deux contraintes sont définies :

• Une contrainte visant à éviter le surpâturage : qU(t) ≤ X(t)−X_min

• Une contrainte visant à assurer un niveau minimal de production sur la saison P(T) ≥ P_min

Valeurs des paramètres du modèle :

• Le coefficient de saturation $K$ et le coefficient de croissance $r$ dépendent du temps et prennent les valeurs successives des vecteurs correspondants aux instants t = 90, 105, 140, 200, 251, 280 et 320 ; 

• $q$ représente la consommation quotidienne d'aliments par les bovins, $q$ = 14,3$ ;

• et $w$ est un coefficient multiplicateur qui tient compte des variations météorologiques quotidiennes.

  
   

Ce système décrit une ferme et un restaurant appartenant à un même projet. Par conséquent, ils fonctionnent en étroite collaboration.

Description du système :

de Lapparent, A., Martin, S. & Sabatier, R. Using System Modularity to Simplify Viability Studies: An Application to a Farm-Restaurant Interaction. Environ Model Assess (2024). https://doi.org/10.1007/s10666-024-10014-w

L'objet calculé est un noyau de viabilité. Le modèle est discret en termes d'états, de contrôles et de temps.

Le calcul prend un instant (4088 s sur mon ordinateur), veuillez patienter…

Modèle

États et contrôles

Variables d'état

la limite supérieure de  $x_1$ peut être relâchée.

Variables de contrôle

Dynamiques

Les dynamiques sont décrites par :

\begin{equation}
   \mathcal{S}_U
   \begin{cases}
   x_{1}^{t+1} = x_{1}^t + G(x_{2}^t,u_{3}^t,R(x_3^t,u_1^t,u_2^t)) - E(u_{1}^t,u_{2}^t)\\
   x_{2}^{t+1} = \alpha(x_{2}^t,u_{3}^t,R(x_3^t,u_1^t,u_2^t))\\
   x_{3}^{t+1} = \Phi (x_{3}^t ,u_{1}^t,u_{2}^t) \\
   \end{cases}
\end{equation}

avec comme fonctions :

Certaines dynamiques nécessitent l'utilisation de paramètres de grille. Par conséquent, une fonction a été implémentée dans le fichier source pour obtenir ces valeurs.

Constraintes

Ce système comporte deux contraintes : la rentabilité du système global et la préservation d'une qualité minimale des sols pour répondre aux enjeux de durabilité. Ces contraintes se traduisent par des seuils sur les flux de trésorerie cumulés ($x_{1} \geq x_{1min}$) et sur la qualité du sol ($x_3 \geq x_{3min}$), respectivement. En d'autres termes, $(x_1^t,x_2^t,x_3^t)$ doit rester dans $K$ pour tout $t\in \mathbb{N}$ avec : 
\begin{equation}
K:=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^+\times [0;1]^2 \; |\; x_1\geq x_{1min} \text{ and }x_3\geq x_{3min}\}.
\end{equation}

Implementation parameters

Time horizon

The time horizon (for trajectory computations) is 20 years.

Algorithm parameters

Default parameters are used.

System parameters

We used the parameters for a low-hypotheses computation.

   "SYSTEM_PARAMETERS": {
       "DYNAMICS_TYPE": 2,
       "DYN_BOUND": 1,
       "DYN_BOUND_COMPUTE_METHOD": 2,
       "IS_TIMESTEP_GLOBAL": 0,
       "LIPSCHITZ_CONSTANT": 1,
       "LIPSCHITZ_CONSTANT_COMPUTE_METHOD": 2,
       "TIME_DISCRETIZATION_SCHEME": 4
   }

Viability kernel computed using ViabLab

Résumé

Ce travail propose d’explorer comment les concepts de durabilité, de résilience et de changement de régime peuvent être mobilisés dans le cadre de la modélisation et simulation participative (approche ComMod). 

En s’appuyant sur la méthode développée par Mathias et al. (2024) pour identifier les différents régimes d’un modèle stochastique, nous avon adapté ces outils à un modèle multi-agents représentant la pêcherie du lac de Guiers au Sénégal. L’objectif est d’évaluer, comment un système socio-écologique soumis à des incertitudes peut passer d’un état « satisfaisant et durable » à un état « satisfaisant et non-durable » ou « non satisfaisant durable », ou inversement (c.f. fig. 1), selon les conditions définies collectivement avec les parties prenantes.

Au-delà de la mise en œuvre technique, cette étude initie une réflexion sur les enjeux de l'exploration des régimes dans un cadre participatif, où les résultats de la modélisation peuvent déboucher sur des recommandations difficiles — comme une suspension temporaire de la pêche pour préserver la ressource. Elle souligne à la fois le potentiel de ces approches pour structurer le dialogue entre chercheurs et acteurs de terrain, et leurs limites pratiques liées à la complexité des modèles et à la nature stochastique des systèmes étudiés. Ce travail constitue ainsi une première étape vers une intégration concrète des notions de durabilité et de résilience dans les processus de décision collective autour de la gestion durable des pêcheries continentales

Les idées originelles

L’article « From tipping point to tipping set: Extending the concept of regime shift to uncertain dynamics for real-world applications » (Mathias, Deffuant & Brias, Ecological Modelling, 2024) propose une refondation du concept de changement de régime dans les systèmes socio-écologiques. Les auteurs soulignent que la définition classique, basée sur des transitions entre bassins d’attraction dans des systèmes déterministes, devient inadaptée lorsque les dynamiques sont soumises à des perturbations aléatoires. Pour pallier cela, ils introduisent la notion d’ensemble de bascule (tipping set), qui remplace le point de bascule unique. Leur approche s’appuie sur la définition d’un ensemble de satisfaction, correspondant aux états jugés « souhaitables » selon des critères écologiques, économiques ou sociaux, et sur deux indicateurs statistiques : le temps moyen de séjour dans cet ensemble et le temps médian de sortie. Ces mesures permettent de distinguer différents régimes — satisfaction durable, satisfaisant non durable, insatisfaisant durable, insatisfaisant non durable, et résiliente — et de caractériser la stabilité du système en prenant en compte les incertitudes.

Le contexte de l'intervention

Le travail s’inscrit dans le cadre du Living Lab de Mbane initier dans le cadre du projet Santés & Territoires, autour du lac de Guiers au Sénégal, où la pêche constitue à la fois une ressource alimentaire essentielle et un pilier économique pour les communautés locales. Face à la surexploitation des ressources halieutiques et aux pressions environnementales, Nous avons mis en place une démarche de modélisation d’accompagnement (ComMod) visant à co-construire avec les pêcheurs une compréhension partagée du système de pêche pour identifier les marges de manoeuvre d'addapations. Cette approche participative, a permis de co-construire un modèles a base d'agent (avec NetLogo) avec les pêcheurs du lac, qui permet de relier les savoirs locaux aux outils scientifiques. L’objectif est d’aider les acteurs locaux à anticiper les impacts de leurs pratiques et à formuler collectivement des règles de gestion plus robustes et adaptées à leur contexte socio-écologique.

Les résultats

Les résultats de ce travail montrent d’abord la faisabilité technique de l’implémentation des calculs de régimes dans des modèles stochastiques, en s’appuyant sur les travaux de Mathias et al. (2024). Après avoir vérifié la validité de leur approche sur un modèle théorique d’exploitation de ressources naturelles, les auteurs l’appliquent à un modèle multi-agents représentant la pêcherie du lac de Guiers au Sénégal. Les simulations permettent d’identifier différents types de régimes selon des critères de satisfaction définis collectivement : la durabilité économique des pêcheurs (mesurée par leur capital) et la durabilité écologique (liée à la biomasse du lac). Ces exploration révèlent que, dans les conditions simulées, les situations véritablement « satisfaisantes et durables » sont rares : le système tend globalement vers des états non durables, suggérant une vulnérabilité structurelle de la pêcherie face à la pression d’exploitation.

Malgré la portée largement qualitative et exploratoire de ces résultats, le modèle n’étant pas encore calibré sur des données réelles. l'intérêt réside surtout dans la démonstration du potentiel de ces outils pour accompagner les acteurs dans la compréhension des dynamiques complexes de la pêche et dans la formulation de décisions collectives. En particulier, l’identification d’ensembles de bascule — zones d’incertitude entre régimes durables et non durables — offre un support de discussion sur les limites et les risques liés à certaines pratiques. Nous soulignons enfin que ces approches nécessitent un dialogue étroit avec les parties prenantes, car elles peuvent aboutir à des recommandations difficiles, comme la fermeture temporaire de la pêche, tout en constituant une base solide pour articuler modélisation scientifique, participation locale et gestion durable des ressources.