Intermédiaire

Introduction

L'ensemble de toutes les racines d'une équation non linéaire comme celui des équilibres de dynamiques multivoques situés dans un ensemble donné $K$ peut être formulé comme le noyau de viabilité d'un ensemble auxiliaire associé à une équation différentielle auxiliaire et peut donc être calculé à l'aide de l'algorithme du noyau de viabilité. 

Problème de viabilité associé aux racines ou aux équilibres

Ce résultat a été démontré dans l'article :

Patrick Saint-Pierre "Equilibria and Stability in Set-Valued Analysis: a Viability Approach" Volume 35 / 1996 Banach Center Publications 35 (1996), 243-255 DOI: 10.4064/-35-1-243-255.

Soient $F : X \leadsto Y$ une application multivoque et $K$ un sous-ensemble fermé de $X$. On note

$$\text{Equi}_F(K) := \{x \in K \mid 0 \in F(x)\}$$

l'ensemble de tous les équilibres de $F$ contenus dans $K$.
Soit $Z := X \times Y$, on définit $\Phi : Z \leadsto Z$ par :
$$\Phi(x, y) = \begin{pmatrix} 0 \\ F(x) \end{pmatrix}$$.
On considère le système d'inclusion différentielle
$$(x'(t), y'(t)) \in \Phi(x(t), y(t)), \text{ p.p. } t \geq 0$$

et, pour tout $c \geq 0$, l'ensemble de contraintes

$$(x(t), y(t)) \in K \times cB, \forall t \in [0, +\infty)$$.

Soit $\Pi_X$ la projection $(x, y) \to x$.

Proposition : Soit $F$ une application multivoque Marchaud et $K \subset X$ un fermé. 
Alors $\forall c \in \mathbb{R}^+$, $$\text{Equi}_F(K) = \Pi_X(\text{Viab}_\Phi(K \times cB)).$$

Pour $c = 0$, le résultat reste vrai : la projection du noyau de viabilité de $K \times \{0\}$ est l'ensemble des équilibres du système.

Remarque : On peut également appliquer la proposition avec $\phi(x) := \min_{y \in F(x)} \|y\|$, ou $\phi(x) := \|f(x)\|$
lorsque $F$ est une application continue univoque $f : X \to Y$, et considérer le système d'équations différentielles

$$(x'(t),z'(t)) = (0,\phi(x(t)),$$

sous la contrainte

$$(x(t), z(t)) \in K \times [0, c], \forall t \in [0, +\infty).$$

Application

Comme dans le chapitre 1 de l'ouvrage

Jean-Pierre Aubin, Alexandre Bayen, Patrick Saint-Pierre. Viability Theory: New Directions. Springer, pp.830, 2011, ISBN 978-3-642-16683-9. ⟨10.1007/978-3-642-16684-6⟩. ⟨inria-00636570⟩

nous illustrons la proposition ci-dessus avec le calcul d'une approximation de l'ensemble des racines de l'application $f : R^3 \rightarrow R$ définie par

$$
f(x,y,z)=(|x-\sin z|+|y-\cos z|)(|x+\sin z|+|y+\cos z|).
$$

Ainsi, l'ensemble des racines de $f$ dans l'ensemble $K$ peut être caractérisé comme une projection du noyau de viabilité du système auxiliaire 

$$
\left\{\begin{array}{ll}
x'&= 0\\
y'&= 0\\
z'&= 0\\
e' &= f(x,y,z)
\end{array}\right.
$$

avec l'ensemble de contraintes

$$
K\times [0;c].
$$

Résultats

L'ensemble des solutions de l'équation 

$$
(|x-\sin z|+|y-\cos z|)(|x+\sin z|+|y+\cos z|) = 0
$$

peut être décrit analytiquement, c'est une double hélice définie par

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\sin z\\
y=\cos z
\end{array}\right.
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=-\sin z\\
y=-\cos z
\end{array}\right.
$$

Grâce à sa caractérisation en terme de projection de noyau de viabilité, une approximation de cet ensemble de solutions peut être calculé par le logiciel ViabLab dont on peut ainsi tester la précision.

Nous reproduisons ci-dessous une vue 3D de la projection selon le 4ème axe de l'approximation du noyau de viabilité calculé par le logiciel ViabLab à partir d'une grille de $401\times 401\times 801 \times 5$ points pour les valeurs de paramètres : $K = [-1;1]\times [-1;1]\times [-2;2]$ et $c=0.01$.

Ce graphique illustre la précision de l'approximation du résultat obtenu par ViabLab qui contient l'ensemble des équilibres puisque l'algorithme de viabilité approche les noyaux de viabilité par l'extérieur.

Introduction

Ce système décrit une ferme maraîchère et un restaurant appartenant à un même projet, la production maraîchère ayant pour vocation d'alimenter le restaurant et de limiter les achats auprès de fournisseurs extérieurs. Par conséquent, les deux activités fonctionnent en étroite collaboration et un dimensionnement respectif est nécessaire afin d'assurer la viabilité de l'ensemble. En effet, en l'absence d'autres débouchés, une surproduction de légumes ne serait pas utilisée, entraînant la perte des coûts de production associés. Une utilisation trop intense des parcelles maraîchères peut aussi entraîner un épuisement des sols, réduisant de ce fait les productions futures. Au contraire, laisser en jachère une partie des surfaces disponibles permet de maintenir la qualité des sols, mais une sous-production de légumes rendrait nécessaire l'achat à prix fort d'un approvisionnement complémentaire pour subvenir aux besoins du restaurant. 

Ce système, et le modèle associé, sont décrits dans l'article suivant :

de Lapparent, A., Martin, S. & Sabatier, R. Using System Modularity to Simplify Viability Studies: An Application to a Farm-Restaurant Interaction. Environ Model Assess (2024). https://doi.org/10.1007/s10666-024-10014-w

L'objet calculé ici est un noyau de viabilité. Le modèle est discret en termes d'états, de contrôles et de temps.

Le calcul prend un moment (4088 s sur mon ordinateur), il va falloir un peu de patience…

Modèle

États et contrôles

Variables d'état

la limite supérieure de  $x_1$ peut être relâchée.

Variables de contrôle

Dynamiques

Les dynamiques sont décrites par :

\begin{equation}
   \mathcal{S}_U
   \begin{cases}
   x_{1}^{t+1} = x_{1}^t + G(x_{2}^t,u_{3}^t,R(x_3^t,u_1^t,u_2^t)) - E(u_{1}^t,u_{2}^t)\\
   x_{2}^{t+1} = \alpha(x_{2}^t,u_{3}^t,R(x_3^t,u_1^t,u_2^t))\\
   x_{3}^{t+1} = \Phi (x_{3}^t ,u_{1}^t,u_{2}^t) \\
   \end{cases}
\end{equation}

avec comme fonctions :

Certaines dynamiques nécessitent l'utilisation de paramètres de grille. Par conséquent, une fonction a été implémentée dans le fichier source pour obtenir ces valeurs.

Contraintes

Ce système comporte deux contraintes : la rentabilité du système global et la préservation d'une qualité minimale des sols pour répondre aux enjeux de durabilité. Ces contraintes se traduisent par des seuils sur les flux de trésorerie cumulés ($x_{1} \geq x_{1min}$) et sur la qualité du sol ($x_3 \geq x_{3min}$), respectivement. En d'autres termes, $(x_1^t,x_2^t,x_3^t)$ doit rester dans $K$ pour tout $t\in \mathbb{N}$ avec : 
\begin{equation}
K:=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^+\times [0;1]^2 \; |\; x_1\geq x_{1min} \text{ and }x_3\geq x_{3min}\}.
\end{equation}

Paramètres

Le calcul peut être réalisé en utilisant ViabLab.

Horizon temporel

L'horizon temporel utilisé pour les calculs de trajectoires est de 20 ans.

Algorithm parameters

Les paramètres par défaut sont utilisés.

System parameters

Les paramètres correspondant à des hypothèses faibles ont été utilisés.

   "SYSTEM_PARAMETERS": {
       "DYNAMICS_TYPE": 2,
       "DYN_BOUND": 1,
       "DYN_BOUND_COMPUTE_METHOD": 2,
       "IS_TIMESTEP_GLOBAL": 0,
       "LIPSCHITZ_CONSTANT": 1,
       "LIPSCHITZ_CONSTANT_COMPUTE_METHOD": 2,
       "TIME_DISCRETIZATION_SCHEME": 4
   }

Noyau de viabilité calculé en utilisant ViabLab.

Ce modèle représente l’effet du pâturage de troupeaux plurispécifiques sur la ressource alimentaire ainsi que ces effets sur le revenu et la capacité d’autosubsistance des éleveurs. Du fait de la nature très extensive des troupeaux considérés, seul un contrôle correspondant à l’abattage des animaux permet de réguler le troupeau (pas de gestion de la reproduction ni d’affouragement).

Ces systèmes pastoraux ont la particularité d’être soumis à des aléas bioclimatiques extrêmes nommés Dzuds qui seront au centre de la démarche de modélisation que nous entreprendrons.

Les Dzuds correspondent à des épisodes de mortalité massive et soudaine dans les troupeaux intervenant généralement en fin d’hiver lorsque le chargement est trop important par rapport à la ressource fourragère et que les conditions climatiques sont particulièrement rudes. Ce phénomène binaire dépend donc à la fois des pratiques des éleveurs et des conditions climatiques puisque c’est bien la combinaison des deux facteurs qui entraine son déclenchement.
Le modèle que nous avons développé lie la dynamique de troupeaux de 5 espèces d’herbivores (bovins, ovins, caprins, équins et chameaux) à la dynamique de la ressource fourragère et pose le Dzud comme mécanisme central dans la dynamique du système.

Sur le plan méthodologique, ce cas d'application à permis d'évaluer sur un même cas d’étude les trois propriétés de robustesse, adaptabilité et résilience.

Sur le plan appliqué, le travail que nous avons mené sur le temps long sur ce cas d’étude nous a permis de comprendre finement la dynamique du système. Nous avons ainsi pu distinguer deux régimes de fonctionnement viables du système : des troupeaux à petits effectifs permettant d’éviter le déclenchement des Dzuds en préservant la ressource ou des troupeaux à très grands effectifs permettant d’encaisser les Dzuds lorsque ceux-ci se produisent.

Le modèle détaillé peut être retrouvé dans l'article suivant:
Rodolphe Sabatier, Frédéric Joly, Bernard Hubert. Assessing both ecological and engineering resilience of a steppe agroecosystem using the viability theory. Agricultural Systems, Elsevier Masson, 2017, 157, pp.146-156. ⟨10.1016/j.agsy.2017.07.009⟩. ⟨hal-02627849⟩