Mathematics

Here is an example where we know the viability kernel.

Indeed, let's consider two-dimensional dynamics where the orbit of the points on the circle centered at the origin of the coordinate system and with radius $a$ is the same circle; where the orbit of the points with a norm strictly less than $a$ is a spiral tending towards the origin, and where the orbit of the points with a norm strictly greater than $a$ is a spiral which diverges.

This is the case for the solutions of the equation $x'=f(x)$ with

$$
f(x_1,x_2):=(\frac{||x||-a}{||x||}x_1+x_2 ; -x_1+\frac{||x||-a}{||x||}x_2)
$$   

Let us consider a square as a constraint set  : 

$$
K := \{(x_1,x_2)\in R^2\,|\, |x_1|\leq c \text{ et } |x_2|\leq c \}.
$$

Clearly, the set of points from which trajectories originate that remain within $K$ indefinitely is the disk centered at the origin with radius $a$.

This example makes it possible to test the precision of approximations obtained using generic software.

Below is a comparison, for $a = 0.7$ and $c=1.5$, between the theoretical result (the disk bounded by the red circle) and the approximate result obtained using the ViabLab software on a regular 2001×2001 grid (the green set bounded by the blue line):

Let us consider complex quadratic polynomials that can be expressed as 

$$\phi_c(z)=z^2+c.$$

The filled Julia set gathers $z$ such that the sequence of their iterates by $\phi_c$ is bounded. 

Fix some $R>0$ large enough that $R^2-R\geq |c|$, the filled Julia set for this system is the subset of the complex plane given by

$$K(\phi_c)=\{z\in C\; :\; \forall n \in N, \;|\phi_c^n(z)|\leq R\},$$ 

where $\phi_c^n(z)$ is the nth iterate of $\phi_c(z)$. The Julia set $J(\phi_c)$ of this function is the boundary of $K(\phi_c)$.

In 1982, a deep theorem by Adrien Douady and Hubbard states that Julia sets are path-connected if and only if the sequence of the iterates of $0$ is bounded. 

Moreover, $K(\phi_c)$ and $J(\phi_c)$ are either path-connected (there is a path within the set that connects any two given points in the set) or path-disconnected (for any two given points in the set, it is impossible to find a path within the set that connects the pair). The set of complex numbers $c$ that can form a path-connected Julia set is called the Mandelbrot set. It is defined in the complex plane as the complex numbers $c$ for which the function $\phi_c$ does not diverge to infinity when iterated starting at $z=0$.

The set Mandelbrot set is bounded, included in $B(0,2)$. Different components of the Mandelbrot set correspond to different dynamical behaviors of the corresponding filled Julia sets.

From

Aubin, J.-P., Bayen, A., & Saint-Pierre, P. Viability Theory: New Directions. Springer. 2011.

• Obviously, the subset $K_c:=Viab_{\phi_c}(B(0,2))$ is the filled Julia set for the function $\phi_c$ whenever $|c|\leq 2$ (which is true when $c$ belongs to the Mandelbrot set) and its boundary $J_u:=\partial K_c$ is the Julia set.

We can approximate these Julia sets thanks to the Viability Algorithm.

See below approximations of famous Julia sets : 

• Douady Rabbit when $c$ is a complex root of $c^3+2c^2+c+$,  $c\approx -0.123 \pm 0.745i $ which implies that the orbit of 0 is periodic with period 3. Douady Rabbit is then connected. See below an approximation obtained by the ViabLab software with $c=-0.123 + 0.745i$ : 

• An approximation of the famous Basilica when $c=-1$ : 

  

• And an approximation of another beautiful Julia set for $c=-0.8+0.156i$ obtained using the VIABLAB software:

Introduction $k$

Le problème d'eutrophisation du lac décrit comme le problème de viabilité du lac et des exploitations riveraines est traité à un niveau global et suppose un décideur unique. Dans le présent exemple les parties prenantes sont réunies dans un comité, et les membres du comité (appelés individus dans la suite) ne sont pas nécessairement d'accord sur la dynamique du lac. Cet exemple illustre les cas où la gestion est collective et où il n'y a pas de consensus sur la dynamique. Ce problème est un problème de viabilité garantie.

Ce problème est décrit en détail dans :

Alvarez, I., Zaleski, L., Briot, J.-P., Irving, M. de A. (2023). Collective management of environmental commons with multiple usages: A guaranteed viability approach. Ecological Modelling, 475, Article 110186

Version auteur disponible ici

Les caractéristiques 

Les caractéristiques du problème modélisé sont les suivantes :  

1.  $N$ individus utilisent les même variables pour décrire le système. Dans cet exemple du lac, ce sont les mêmes variables $L$ (apports de phosphore) et $P$ (concentration totale de phosphore) que dans le cas du décideur unique.
2. Les contrôles admissibles retenus dans les modèles sont communs à tous les individus. On garde donc la même variable de contrôle et les mêmes bornes : $u\in U=[u_{min},u_{max}]$.
3. Tous les individus $i$ peuvent définir un ensemble d'états souhaitables $K_i$ dont l'intersection est non vide. On garde donc un ensemble de contraintes similaires au cas du décideur unique :  $x=\left(L(t),P(t)\right) \in K=[L_{min}, +\infty[ \times [0,P_{max}]$
4. La dynamique du système est modélisée pour chaque individu par un ensemble d'équations (ou d'inclusion différentielles) $S_i$
5. L'objectif de chaque individu est de maintenir le système modélisé par leur dynamique $S_i$ dans leur ensemble d'états souhaitables $K_i$

6. Les individus acceptent de partager leurs informations personnelles avec un tiers de confiance.

   Dans cet exemple, on considère $N=4$ individus. Trois d'entre eux ($i\in\{1,2,3\}$) adoptent la dynamique classique, mais avec des paramètres différents :

   \begin{equation}
   (P_i \text{ modèle 1})\left\{
   \begin{array}{l}
   \frac{dL}{dt}=u\in U=\left[ u_{min},u_{max}\right] \\
   \frac{dP}{dt}=-b_i P(t) + L(t) +r_i\frac{P(t)^{q_i}}{m_i^{q_i} + P(t)^{q_i}} \\
   \left(L(t),P(t)\right) \in K=[L_{min}, +\infty[ \times [0,P_{max}]
   \end{array}
   \right.
   \end{equation}

   Un individu ($i=4$) considère que le processus de relargage peut se produire différemment, et utilise une formule différente pour la pseudo-sygmoïde :

   \begin{equation}
   (S' \text{ modèle 0}) \quad \frac{dP}{dt}=-b_i P(t) + L(t) + r_i \frac{P(t)}{P(t) + m_i e^{(-\lambda_i(P(t)-m_i)) }}
   \end{equation}

   Les valeurs numériques pour les calculs sont les suivantes : $u_{min}=-u_{max}/2$ ; $u_{max}\approx 3,15\; \mu g.l^{-1}.\text{an}^{-1}$, $L_{min}\approx6,94 \; \mu g.l^{-1}$,  $P_{max}=24.76 \; \mu g.l^{-1}$, 

Le  tableau suivant rassemble les valeurs des paramètres pour chaque individu (b,r,m sont en $\mu g.l^{-1}$).

Les incertitudes sont traitées comme des variables prenant leur valeur dans des ensembles. Le problème est un problème de viabilité garantie, dans lequel le vecteur $v$ des "tyches" regroupent les paramètres incertains : $v_1$ représente le paramètre $b_i$, $v_2$ : $\alpha_i$, $v_3$ : $q_i$ et $v_4$ représente $\lambda_i$. La dynamique du modèle avec incertitudes devient :

\begin{equation}
f_v(x=(L,P),u,v)=\left( 
\begin{array}{l}
u\\
- v_1 P + L +  r \left( (1-v_2) \frac{P^{v_3}}{m^{v_3} + P^{v_3}} + v_2 \frac{P}{P + m e^{(-v_4(P-m)) }}\right)  \;
\end{array}
\right)
\end{equation}

Problèmes

Le problème de viabilité garantie qui doit être résolu est le suivant :

\begin{equation}
(P_v)\left\{
\begin{array}{lcl}
(L,P)'(t)&=&f_B((L,P)(t),u(t),v(t))\\
u(t)&\in& U=\left[ u_{min},u_{max}\right] \\
v(t)&\in & V=[2.2,2.3]\times[0,1]\times[2.2,2.3]\times[1/19,1/18]\\
(L,P)(t) &\in& K \; 
\end{array}
\right.
\end{equation}

Le noyau garanti peut être approximé avec ViabLab (version 2.2). Le code correspondant est ici : https://forgemia.inra.fr/isabelle.alvarez/emlake