Beginner

Let us consider complex quadratic polynomials that can be expressed as 

$$\phi_c(z)=z^2+c.$$

The filled Julia set gathers $z$ such that the sequence of their iterates by $\phi_c$ is bounded. 

Fix some $R>0$ large enough that $R^2-R\geq |c|$, the filled Julia set for this system is the subset of the complex plane given by

$$K(\phi_c)=\{z\in C\; :\; \forall n \in N, \;|\phi_c^n(z)|\leq R\},$$ 

where $\phi_c^n(z)$ is the nth iterate of $\phi_c(z)$. The Julia set $J(\phi_c)$ of this function is the boundary of $K(\phi_c)$.

In 1982, a deep theorem by Adrien Douady and Hubbard states that Julia sets are path-connected if and only if the sequence of the iterates of $0$ is bounded. 

Moreover, $K(\phi_c)$ and $J(\phi_c)$ are either path-connected (there is a path within the set that connects any two given points in the set) or path-disconnected (for any two given points in the set, it is impossible to find a path within the set that connects the pair). The set of complex numbers $c$ that can form a path-connected Julia set is called the Mandelbrot set. It is defined in the complex plane as the complex numbers $c$ for which the function $\phi_c$ does not diverge to infinity when iterated starting at $z=0$.

The set Mandelbrot set is bounded, included in $B(0,2)$. Different components of the Mandelbrot set correspond to different dynamical behaviors of the corresponding filled Julia sets.

From

Aubin, J.-P., Bayen, A., & Saint-Pierre, P. Viability Theory: New Directions. Springer. 2011.

• Obviously, the subset $K_c:=Viab_{\phi_c}(B(0,2))$ is the filled Julia set for the function $\phi_c$ whenever $|c|\leq 2$ (which is true when $c$ belongs to the Mandelbrot set) and its boundary $J_u:=\partial K_c$ is the Julia set.

We can approximate these Julia sets thanks to the Viability Algorithm.

See below approximations of famous Julia sets : 

• Douady Rabbit when $c$ is a complex root of $c^3+2c^2+c+$,  $c\approx -0.123 \pm 0.745i $ which implies that the orbit of 0 is periodic with period 3. Douady Rabbit is then connected. See below an approximation obtained by the ViabLab software with $c=-0.123 + 0.745i$ : 

• An approximation of the famous Basilica when $c=-1$ : 

  

• And an approximation of another beautiful Julia set for $c=-0.8+0.156i$ obtained using the VIABLAB software:

Introduction

Let us consider the classic Lotka-Volterra predator-prey model with two variables: $x(t)$, the prey population size over time, and $y(t)$, the predator population size over time.
Population changes over time depend on:

• the prey reproduction rate, $\alpha$
• the prey mortality rate due to predators, $\beta$
• the predator production rate based on prey consumed, $\delta$
• the predator mortality rate, $\gamma$.

Lotka and Volterra independently proposed the following equations:

$$\left\{\begin{array}{l}x'=x(\alpha-\beta y)\\ y'=y(\delta x-\gamma)\end{array}\right.$$

Modeling a viability problem for the prey

In their article

Térence Bayen, Alain Rapaport. Minimal time crisis versus minimum time to reach a viability kernel: a case study in the prey-predator model. Optimal Control Applications and Methods, 2019, 40 (2), pp.330-350. ⟨10.1002/oca.2484⟩. ⟨hal-01943636v2⟩

the authors addressed the problem of preserving the prey population in the face of predators by keeping their numbers above a given threshold $\underline{x} > 0$ as much as possible. This amounts to ensuring that the state remains within the set

$$K(\underline{x}):=\{(x,y)\,|\, x>=\underline{x}\},$$

based on the premise that low prey density exposes the population to a risk of extinction that should be avoided as much as possible.

Using the original Lotka-Volterra equations, the authors assume constant values ​​for $\alpha=r$, $\beta=1$, and $\delta=1$. However, a control can influence predator mortality; thus, the authors set $\gamma = m + u$, where $m$ is a constant and $u$ is an excess mortality rate that can vary, with $u(t) \in [0, \bar{u}]$.

The viability problem can be summarized as follows:

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=x(r- y)\\
y'=y( x-m-u)\\
u(t) \in [0;\bar{u}]\\
\left(x(t),y(t)\right) \in K(\underline{x}):=\{(x,y)\,|\, x>=\underline{x}\}
\end{array}
\right.
\end{equation}

Solving this problem means finding the set of states $(x,y)$ from which it is possible to maintain a prey population level above $\underline{x}$ over time by manipulating prey excess mortality—in other words, the viability kernel, using the terminology of viability theory.

Results

The authors provide an analytical description of this viability kernel. When $\bar{u}\geq \underline{x}-m$, by considering the invariant of this Lotka-Volterra system (which depends on $u$), $W_u(x,y):=x-(m+u)\ln x+y -r\ln y$, they construct the boundary of the viability kernel using a closed curve composed of three subsets:

• $\{(x,y) | y\geq r \text{ and }W_{\bar{u}}(x,y)=W_{\bar{u}}(\underline{x}, r) \}$.
• Let $x^+>\underline{x}$ such that $W_{\bar{u}}(x^+,r)=W_{\bar{u}}(\underline{x}, r)$,
  $\{(x,y) | y\leq r \text{ and }W_{0}(x,y)=W_{0}(x^+, r) \}$
• Let $r^-$ such that $W_{0}(\underline{x},r^-)=W_{0}(x^+, r)$,
  $\{(x,y) | x=\underline{x} \text{ and } y\in [r^-,r]\}$

The following figure shows the result for the parameters: $r=1$, $m=1$, $\bar{u}=0.5$, $\underline{x}=0.8$.

Because an analytical description of its boundary exists, this viability problem allows for testing the precision of approximations generated by generic software.

Shown below is a comparison—for $r=1$, $m=1$, $\bar{u}=0.5$, and $\underline{x}=0.8$—between the viability kernel boundary derived from its analytical description (in red) and the approximate result obtained using the ViabLab software on a regular grid of 4001×4001 points (light blue set with a dark blue boundary):

 It can be seen that the kernel approximation is well performed from the outside.

Grass is a renewable resource whose growth rate depends on the time of year, its height, and weather conditions. Effective pasture management therefore requires dynamically setting the stocking rate (number of animals per hectare) to feed the animals while avoiding overgrazing. Due to the uncertainty surrounding grass growth linked to weather conditions, the challenge is to implement grazing schedules that are not only productive but also robust and adaptable.

This problem is described in detail in:

Sabatier R, Oates, LG, Jackson RD, 2015, Management flexibility of a grassland agroecosystem: A modeling approach based on viability theory, Agricultural Systems http://dx.doi.org/10.1016/j.agsy.2015.06.008

The system is characterized by:

• two states: $X(t)$, the biomass of the grass resource, and $P(t)$, the cumulative production level.
• a control $U(t)$, the loading rate.
• an uncertainty ω ∈ Ω on the grass growth rate.

Due to the daily time step of the loading management, the model is discretized in time. Furthermore, since the cows are removed from the paddocks for several consecutive months in winter, the focus is on a single grazing season, which implies a finite time horizon, t ∈ [90, 300].

The dynamics are as follows:

With $r(t, ω)$ the grass growth rate, $K(t)$ a saturation coefficient, $Xmin$ the grass biomass corresponding to the minimum grazing height (cows are unable to graze grass below a certain height), and q the amount of biomass grazed per cow per day.

Two constraints are defined:

• A constraint aimed at preventing overgrazing: $qU(t) \leq X(t)−Xmin$
• A constraint aimed at ensuring a minimum level of production over the season P(T) ≥ P_min

Values of model parameters :

•  saturation coefficient $K$ and growth coefficient $r$ depend on time and take the successive values of the corresponding vectors at times 90, 105, 140, 200, 251, 280, and 320 ; 

• $q$ is the daily feed intake by cattle, $q = 14.3$;
• and $w$ is a multiplying coefficient that reflects the daily weather variation, $w \in [0.95; 1.0; 1.05]$.
   

But du projet

Trouver pour chaque individu son ensemble d'engagements préservant la viabilité de chacun. Un ensemble d'engagements individuel corresponds à l'ensemble des contrôles (actions min à max, supposées continues) que l'individu peut exercer.

Code

Le code est disponible sur la forge INRAE. Les supports de présentation de viabic sont disponibles sur HAL.

La résolution du problème (ie trouver les bornes des ensembles d'engagements individuels) s'appuie sur une optimisation par essaim particulaire (PSO - Particle Swarm Optimization).

Résumé

Ce travail propose d’explorer comment les concepts de durabilité, de résilience et de changement de régime peuvent être mobilisés dans le cadre de la modélisation et simulation participative (approche ComMod). 

En s’appuyant sur la méthode développée par Mathias et al. (2024) pour identifier les différents régimes d’un modèle stochastique, nous avon adapté ces outils à un modèle multi-agents représentant la pêcherie du lac de Guiers au Sénégal. L’objectif est d’évaluer, comment un système socio-écologique soumis à des incertitudes peut passer d’un état « satisfaisant et durable » à un état « satisfaisant et non-durable » ou « non satisfaisant durable », ou inversement (c.f. fig. 1), selon les conditions définies collectivement avec les parties prenantes.

Au-delà de la mise en œuvre technique, cette étude initie une réflexion sur les enjeux de l'exploration des régimes dans un cadre participatif, où les résultats de la modélisation peuvent déboucher sur des recommandations difficiles — comme une suspension temporaire de la pêche pour préserver la ressource. Elle souligne à la fois le potentiel de ces approches pour structurer le dialogue entre chercheurs et acteurs de terrain, et leurs limites pratiques liées à la complexité des modèles et à la nature stochastique des systèmes étudiés. Ce travail constitue ainsi une première étape vers une intégration concrète des notions de durabilité et de résilience dans les processus de décision collective autour de la gestion durable des pêcheries continentales

Les idées originelles

L’article « From tipping point to tipping set: Extending the concept of regime shift to uncertain dynamics for real-world applications » (Mathias, Deffuant & Brias, Ecological Modelling, 2024) propose une refondation du concept de changement de régime dans les systèmes socio-écologiques. Les auteurs soulignent que la définition classique, basée sur des transitions entre bassins d’attraction dans des systèmes déterministes, devient inadaptée lorsque les dynamiques sont soumises à des perturbations aléatoires. Pour pallier cela, ils introduisent la notion d’ensemble de bascule (tipping set), qui remplace le point de bascule unique. Leur approche s’appuie sur la définition d’un ensemble de satisfaction, correspondant aux états jugés « souhaitables » selon des critères écologiques, économiques ou sociaux, et sur deux indicateurs statistiques : le temps moyen de séjour dans cet ensemble et le temps médian de sortie. Ces mesures permettent de distinguer différents régimes — satisfaction durable, satisfaisant non durable, insatisfaisant durable, insatisfaisant non durable, et résiliente — et de caractériser la stabilité du système en prenant en compte les incertitudes.

Le contexte de l'intervention

Le travail s’inscrit dans le cadre du Living Lab de Mbane initier dans le cadre du projet Santés & Territoires, autour du lac de Guiers au Sénégal, où la pêche constitue à la fois une ressource alimentaire essentielle et un pilier économique pour les communautés locales. Face à la surexploitation des ressources halieutiques et aux pressions environnementales, Nous avons mis en place une démarche de modélisation d’accompagnement (ComMod) visant à co-construire avec les pêcheurs une compréhension partagée du système de pêche pour identifier les marges de manoeuvre d'addapations. Cette approche participative, a permis de co-construire un modèles a base d'agent (avec NetLogo) avec les pêcheurs du lac, qui permet de relier les savoirs locaux aux outils scientifiques. L’objectif est d’aider les acteurs locaux à anticiper les impacts de leurs pratiques et à formuler collectivement des règles de gestion plus robustes et adaptées à leur contexte socio-écologique.

Les résultats

Les résultats de ce travail montrent d’abord la faisabilité technique de l’implémentation des calculs de régimes dans des modèles stochastiques, en s’appuyant sur les travaux de Mathias et al. (2024). Après avoir vérifié la validité de leur approche sur un modèle théorique d’exploitation de ressources naturelles, les auteurs l’appliquent à un modèle multi-agents représentant la pêcherie du lac de Guiers au Sénégal. Les simulations permettent d’identifier différents types de régimes selon des critères de satisfaction définis collectivement : la durabilité économique des pêcheurs (mesurée par leur capital) et la durabilité écologique (liée à la biomasse du lac). Ces exploration révèlent que, dans les conditions simulées, les situations véritablement « satisfaisantes et durables » sont rares : le système tend globalement vers des états non durables, suggérant une vulnérabilité structurelle de la pêcherie face à la pression d’exploitation.

Malgré la portée largement qualitative et exploratoire de ces résultats, le modèle n’étant pas encore calibré sur des données réelles. l'intérêt réside surtout dans la démonstration du potentiel de ces outils pour accompagner les acteurs dans la compréhension des dynamiques complexes de la pêche et dans la formulation de décisions collectives. En particulier, l’identification d’ensembles de bascule — zones d’incertitude entre régimes durables et non durables — offre un support de discussion sur les limites et les risques liés à certaines pratiques. Nous soulignons enfin que ces approches nécessitent un dialogue étroit avec les parties prenantes, car elles peuvent aboutir à des recommandations difficiles, comme la fermeture temporaire de la pêche, tout en constituant une base solide pour articuler modélisation scientifique, participation locale et gestion durable des ressources.

Details of the model can be found in the following article:

Rodolphe Sabatier, Luc Doyen, Muriel Tichit. Action versus Result-Oriented Schemes in grassland agroecosystem: A dynamic modelling approach. PLoS ONE, Public Library of Science, 2012, 7 (4), 11 p. ⟨10.1371/journal.pone.0033257⟩. ⟨hal-01191070⟩