Débutant

Considérons les polynomes quadratiques complexes qui s'écrivent sous la forme :

$$\phi_c(z)=z^2+c.$$

L'ensemble de Julia rempli est composé des $z$ tels que la suite des itérés par $\phi_c$ est bornée. 

En prenant $R>0$ suffisamment grand pour que $R^2-R\geq |c|$, l'ensemble de Julia rempli est le sous-ensemble du plan complexe défini par :

$$K(\phi_c)=\{z\in C\; :\; \forall n \in N, \;|\phi_c^n(z)|\leq R\},$$ où $\phi_c^n(z)$ est le n^ième itéré de $\phi_c(z)$. L'ensemble de Julia est la frontière de $K(\phi_c)$.

En 1982, Adrien Douady and Hubbard montrent que les ensembles de Julia sont connexes par arcs si et seulement si la suite des itérés de $0$ est bornée. 

De plus,  $K(\phi_c)$ et $J(\phi_c)$ sont soit connexes par arcs (il existe un chemin inclus dans l'ensemble qui connecte toute paire de points de cet ensemble) ou totalement déconectés (pour toute paire de point, il est impossible de trouver un chemin dans l'ensemble qui les connecte). L'ensemble des points du plan complexe $c$ pour lesquels l'ensemble de Julia est connexe par arcs est appelé l'ensemble de Mandelbrot. Il est défini comme l'ensemble des nombres complexes $c$ pour lesquels la suite des itérés de la fonction $\phi_c$ ne diverge pas vers l'infini partant de $z=0$.

L'ensemble de Mandelbrot est contenu dans la boule de rayon 1, $B(0,2)$. Différentes régions de l'ensemble de Mandelbrot correspondent à différents comprtements de la suite des itérés de $\phi_c$ et différentes caractéristiques des ensembles de Julia.

Aubin et ses coauteurs ont montré que ces ensembles de Julia pouvaient décrits comme des noyaux de viabilité de systèmes particuliers:

Aubin, J.-P., Bayen, A., & Saint-Pierre, P. Viability Theory: New Directions. Springer. 2011.

• De manière assez évidente, le sous-ensemble $K_c:=Viab_{\phi_c}(B(0,2))$ est égal à l'ensemble de Julia rempli de la fonction $\phi_c$ lorsque  $|c|\leq 2$ (ce qui est le cas lorsque $c$ appartient à l'ensemble de Mandebrot) et sa frontière $J_u:=\partial K_c$ est l'ensemble de Julia.

Ainsi, les ensembles ensembles de Julia peuvent être approchés grâce à l'algorithme de viabilité :

Voir ci-dessous des approximations d'ensembles de Julia célèbres : 

• le lapin de Douady lorsque $c$ est proche d'une racine complexe de  $c^3+2c^2+c+1$,  $c\approx -0.123 \pm 0.745i $ (pour cette racine complexe, l'orbite de 0 est périodique de période 3 donc bornée). Le lapin de Douady est ainsi connexe par arcs. L'approximation ci-dessous est obtenue avec le logiciel ViabLab et $c=-0.123 + 0.745i$ : 

• Une approximation de la Basilique lorsque $c=-1$ : 

  

• Et une approximationd'un autre ensemble de Julia avec cette fois $c=-0.8+0.156i$ :

Introduction

Considérons le modèle classique proies-prédateurs de Lotka-Volterra à deux variables $x(t)$ l'effectif des proies en fonction du temps et $y(t)$ l'effectif des prédateurs au cours du temps.
Les variations des populations au cours du temps dépendent : 

• du taux de reproduction $\alpha$ des proies
• du taux de mortalité des proies dû aux prédateurs, $\beta$
• du taux de production des prédateurs en fonction des proies mangées, $\delta$,
• du taux de mortalité des prédateurs, $\gamma$.

Lotka et Volterra ont proposé simultanément les équations suivantes : 

$$\left\{\begin{array}{l}x'=x(\alpha-\beta y)\\ y'=y(\delta x-\gamma)\end{array}\right.$$
 

Modélisation d'un problème de viabilité pour les proies

Dans leur article 

Térence Bayen, Alain Rapaport. Minimal time crisis versus minimum time to reach a viability kernel : a case study in the prey-predator model. Optimal Control Applications and Methods, 2019, 40 (2), pp.330-350. ⟨10.1002/oca.2484⟩. ⟨hal-01943636v2⟩

les auteurs se sont intéressés au problème de la préservation des proies face aux prédateurs, en maintenant autant que possible leur effectif au-dessus d'un seuil donné $\underline{x} > 0$, ce qui revient à faire en sorte que l'état appartienne à l'ensemble

$$K(\underline{x}):=\{(x,y)\,|\, x>=\underline{x}\},$$

considérant qu'une faible densité de proies les expose à un risque de disparition qu'il convient d'éviter autant que possible.

Reprenant les équations originelles de Lotka-Volterra, les auteurs considérent des valeurs constantes pour $\alpha=r $, $\beta=1$ et $\delta=1$.

Un contrôle peut toutefois agir sur la mortalité des prédateurs, ainsi, les auteurs posent $\gamma= m +u$ avec $m$ une constante et $u$ une surmortalité dont la valeur peut varier, $u(t) \in [0;\bar{u}]$.

Le problème de viabilité se résume ainsi : 

\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
x'=x(r- y)\\ 
y'=y( x-m-u)\\
u(t) \in [0;\bar{u}]\\
\left(x(t),y(t)\right) \in K(\underline{x}):=\{(x,y)\,|\, x>=\underline{x}\}
\end{array}
\right.
\end{equation}

Résoudre ce problème, c'est trouver l'ensemble des états $(x,y)$ à partir desquels il est possible de conserver au cours du temps un effectif de proie supérieur à $\underline{x}$ en agissant sur la surmortalité des proies, c'est à dire le noyau de viabilité dans la terminologie de la théorie de la viabilité.

Résultats

Les auteurs fournissent une description analytique de ce noyau de viabilité. 

Lorsque $\bar{u}\geq \underline{x}-m$, en considérant l'invariant de ce système Lotka-Volterra (qui dépend de $u$) $W_u(x,y):=x-(m+u)\ln x+y -r\ln y$, ils construisent la frontière du noyau de viabilité à l'aide d'une courbe fermée suivante composée de 3 sous-ensembles : 

• $\{(x,y) | y\geq r \text{ and }W_{\bar{u}}(x,y)=W_{\bar{u}}(\underline{x}, r) \}$. 
• Let $x^+>\underline{x}$ such that $W_{\bar{u}}(x^+,r)=W_{\bar{u}}(\underline{x}, r)$, 
   $\{(x,y) | y\leq r \text{ and }W_{0}(x,y)=W_{0}(x^+, r) \}$
• Let $r^-$ such that $W_{0}(\underline{x},r^-)=W_{0}(x^+, r)$, 
  $\{(x,y) | x=\underline{x} \text{ and } y\in [r^-,r]\}$
   

La figure suivante montre le résultat pour les paramètres suivants : $r=1$, $m=1$,  $\bar{u}=0.5$, $\underline{x}=0.8$.

Ce problème de viabilité, par l'existence de la description analytique de sa frontière permet de tester la finesse d'approximations issues de logiciels génériques.

Ci-dessous la comparaison pour $r=1$, $m=1$,  $\bar{u}=0.5$, $\underline{x}=0.8$ entre la frontière du noyau de viabilité issue de sa description analytique (en rouge) et le résultat approché obtenu avec le logiciel ViabLab sur une grille régulière de 4001*4001points (ensemble bleu clair avec la frontière bleu foncé) :

 On remarque que conformément à la description de l'algorithme de viabilité de Patrick Saint-Pierre, l'approximation du noyau est bien faite par l'extérieur.

L’herbe est une ressource renouvelable dont le taux de croissance dépend de la période de l’année mais aussi de sa hauteur et des condition météorologiques. Une gestion fine du pâturage demande donc de fixer de manière dynamique, le niveau de chargement (nombre d’animaux par hectare) pour nourrir les animaux tout en évitant les phénomènes de surpâturage. Du fait de l’incertitude sur la croissance de l’herbe liée aux conditions météorologiques, l’enjeu est de mettre en œuvre des séquences de pâturage qui soient non seulement productives mais aussi robustes et adaptables.

Ce problème est décrit en détails dans : 

Sabatier R, Oates, LG, Jackson RD, 2015, Management flexibility of a grassland agroecosystem: A modeling approach based on viability theory, Agricultural Systems http://dx.doi.org/10.1016/j.agsy.2015.06.008

Le système se caractérise par :

• deux états X(t) la biomasse de la ressource en herbe et P(t) le niveau de production cumulée. 

• un contrôle U(t), le chargement

• une incertitude ω ∈ Ω sur le taux de croissance de l’herbe

Du fait du pas de temps journalier de la gestion du chargement, le modèle est discrétisé en temps. De plus, les vaches étant retirées des parcelles pendant plusieurs mois d’affilée en hiver, on se focalise sur une seule saison de pâturage, ce qui implique un horizon temporel finit, t ∈ [90, 300].

La dynamique est la suivante :

Avec r(t, ω) le taux de croissance de l’herbe, K(t) un coefficient de saturation, X_min, la biomasse d’herbe correspondant à la hauteur minimale de pâturage (les vaches sont incapables de prélever de l’herbe d’une hauteur inférieure à un certain seuil), q la quantité de biomasse prélevée par vache et par jour. 

Deux contraintes sont définies :

• Une contrainte visant à éviter le surpâturage : qU(t) ≤ X(t)−X_min

• Une contrainte visant à assurer un niveau minimal de production sur la saison P(T) ≥ P_min

Valeurs des paramètres du modèle :

• Le coefficient de saturation $K$ et le coefficient de croissance $r$ dépendent du temps et prennent les valeurs successives des vecteurs correspondants aux instants t = 90, 105, 140, 200, 251, 280 et 320 ; 

• $q$ représente la consommation quotidienne d'aliments par les bovins, $q$ = 14,3$ ;

• et $w$ est un coefficient multiplicateur qui tient compte des variations météorologiques quotidiennes.